szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2014, o 19:35 
Moderator

Posty: 3012
Lokalizacja: Starachowice
\left| 9-x^2\right|+1-\left| 4-3x\right| =2x

1. Wyznaczamy argumenty (czyli iksy), dla których wyrażenia w wartościach bezwzględnych przyjmują wartość zero:

9-x^2=0 \\ 9=x^2 \\ \blue x=3 \black  \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x=-3 \black \\ \\ 4-3x=0 \\ \blue x=\frac43


2. Tworzymy przedziały o końcach w wyznaczonych wcześniej punktach:

A: \ x\in\left( -\infty; -3\right\rangle

B: \ x\in\left( -3;\frac43\right\rangle

C: \ x\in\left( \frac43;3\right\rangle

D: \ x\in\left( 3;+\infty\right)


3. Rozwiązujemy równanie dla każdego z przedziałów:

a) A: \ x\in\left( -\infty; -3\right\rangle

Wybieramy dowolną liczbę (najlepiej całkowitą) z przedziału A. Unikamy wartości krańcowych (takich jak x=-3).
W tym przypadku wygodnie wybrać liczbę x=-5.
Wstawiamy wybraną liczbę do wyrażeń znajdujących się między kreskami wartości bezwzględnej (czyli do 9-x^2 oraz 4-3x).
Obliczamy wartości obu wyrażeń. Dla nas jest istotne wyłącznie to, czy obliczone wartości są dodatnie czy ujemne:

9-x^2=9-(-5)^2=9-25=-16 (wartość ujemna)

4-3x=4-3\cdot (-5)=4+15=19 (wartość dodatnia)

Jeżeli obliczona wartość wyrażenia okaże się ujemna to rozwiązując dalej równanie, zamieniamy znaki w tym wyrażeniu między kreskami na przeciwne, zaś same kreski zamieniamy na nawiasy.
Jeżeli obliczona wartość okaże się dodatnia to rozwiązując dalej równanie, zamieniamy pionowe kreski w tym wyrażeniu na nawiasy:

\left( -9+x^2\right)+1-\left( 4-3x\right) =2x

Opuszczamy nawiasy i szukamy potencjalnych rozwiązań naszego równania z wartością bezwzględną:

-9+x^2+1-4+3x=2x \\ x^2+x-12=0 \\ \blue x_1=-4 \black \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x_2=3

Otrzymane liczby x_1=-4, \ x_2=3 muszą należeć do przedziału, w którym rozwiązujemy równanie (akurat tutaj jest to przedział A). Jeżeli któraś z liczb nie należy, to nie jest ona rozwiązaniem równania.

x_1=-4 \in A \\ x_2=3 \notin A

x_1=-4 jest rozwiązaniem równania, zaś x_2=3 nie jest.


b) B: \ x\in\left( -3;\frac43\right\rangle

Wybieramy np. liczbę 0:

0 \in B

9-x^2=9-0^2=9 (wartość dodatnia)

4-3x=4-3\cdot 0=4 (wartość dodatnia)

\left( 9-x^2\right)+1-\left( 4-3x\right) =2x \\ 9-x^2+1-4+3x=2x \\ -x^2+x+6=0 \\ \blue x_1=-2 \in B \black \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x_2=3 \notin B

x_1=-2 jest rozwiązaniem równania, zaś x_2=3 nie jest.

c) C: \ x\in\left( \frac43;3\right\rangle

Wybieramy np. liczbę 2:

2\in C

9-x^2=9-2^2=9-4=5 (wartość dodatnia)

4-3x=4-3\cdot 2=4-6=-2 (wartość ujemna)

\left( 9-x^2\right)+1-\left( -4+3x\right) =2x \\ 9-x^2+1+4-3x=2x \\ -x^2-5x+14=0 \\ \blue x_1=-7 \notin C \black \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x_2=2 \in C

x_2=2 jest rozwiązaniem równania, zaś x_1=-7 nie jest.

d) D: \ x\in\left( 3;+\infty\right)

Wybieramy np. liczbę 4:

4 \in D

9-x^2=9-4^2=9-16=-7 (wartość ujemna)

4-3x=4-3\cdot 4=4-12=-8 (wartość ujemna)

\left( -9+x^2\right)+1-\left( -4+3x\right) =2x \\ -9+x^2+1+4-3x=2x \\ x^2-5x-4=0 \\ \blue x_1=\frac{5-\sqrt{41}}2 \approx -0.7   \black \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x_2=\frac{5+\sqrt{41}}2 \approx 5.7

x_2=\frac{5+\sqrt{41}}2 jest rozwiązaniem równania bo należy do zbioru D, zaś x_1=\frac{5-\sqrt{41}}2 nie jest, bo do zbioru D nie należy.

***
Podsumowując, rozwiązaniem równania \left| 9-x^2\right|+1-\left| 4-3x\right| =2x są liczby:

\blue x=-4, \ x=-2, \ x=2, \ x=\frac{5+\sqrt{41}}2

***

Można rozwiązać to nieco inaczej - metodą zaproponowaną przez użytkownika Jarmil:

|9-x^2|+1-|4-3x|-2x=0

1) Zakładamy że:

9-x^2 \ge 0

4-3x \ge 0

wtedy:
9-x^2+1- 4+3x -2x=0

-x^2+x+6=0

\sqrt{1-4 \cdot (-1) \cdot 6} =5

x_{1}=\frac{-1+5}{-2}=-2

x_{2}=\frac{-1-5}{-2}=3

Teraz sprawdzamy która wartość spełnia założenia:

x_{1}=-2
9-x^2=5 >0

4-3x=4+6=10 >0
Czyli x_{1} jest pierwszym rozwiązaniem.

x_{2}=3
9-x^2=0 pasuje

4-3x=4-9=-5<0 nie pasuje
x_{2} nie spełnia założenia i odpada

2) Zakładamy że:

9-x^2>=0

4-3x<0

wtedy:
9-x^2+1+4-3x-2x=0

-x^2-5x+14=0

\sqrt{25-4 \cdot (-1) \cdot 14} =9

x_{2}=\frac{5+9}{-2}=-7

x_{3}=\frac{5-9}{-2}=2

x_{2}=-7
9-x^2=9-49=-40 <0 nie spełnia

x_{3}=2
9-x^2=9-4=5 >0 spełnia

4-3x=4-6=-2 <0 spełnia
x_{3} jest drugim rozwiązaniem

3) Teraz na odwrót

9-x^2<0

4-3x \ge 0

Czyli:
-9+x^2+1-4+3x-2x=0

x^2+x-12=0

\sqrt{1-4 \cdot (1) \cdot (-12)} =7

x_{5}=\frac{-1+7}{2}=3

x_{6}=\frac{-1-7}{2}=-4
i znowu sprawdzamy:

x_{5}=3
9-x^2=0 nie spełnia
czyli x_{5} odpada i nie ma co sprawdzać dalej

x_{6}=-4
9-x^2=9-16=-7<0 spełnia

4-3x=4+12=16>0spełnia
x_{6} jest trzecim rozwiązaniem.

4)I ostatnia możliwość obie ujemne:

9-x^2<0

4-3x<0

wtedy:
-9+x^2+1+4-3x-2x=0

x^2-5x-4=0

\sqrt{25-4 \cdot (1) \cdot (-4)} =\sqrt{41}

x_{7}=\frac{5+\sqrt{41}}{2}

x8=\frac{5-\sqrt{41}}{2}

x_{7}
9-x^2=9-\left( \frac{\left( 5+\sqrt{41}\right) ^2}{4}\right)

Nawet jeśli przyjmiemy że \sqrt{41} to 6, a jest więcej, mniej niż 7, to wtedy mamy

9-\frac{121}{4} <0czyli pasuje

4-3x=4-3\frac{(5+\sqrt{41})}{2}=4-15/2 -\frac{3\sqrt{41}}{2} <0

czwarte rozwiązanie:
x_{7}=\frac{5+\sqrt{41}}{2}

x_{8}
9-x^2=9-\left( \frac{\left( 5-\sqrt{41}\right) ^2}{4}\right)

załóżmy że w najlepszym przypadku \sqrt{41} to 7, a jest mniej, ale więcej niż 5, wtedy mamy
9- \frac{4}{4} >0
czyli x_{8} nie spełnia założenia i odpada

Rozwiązanie równania:
\left| 9-x^2\right|+1-\left| 4-3x\right| -2x=0
to:
x_{1}=-2

x_{3}=2

x_{6}=-4

x_{7}=\frac{5+\sqrt{41}}{2}

***
ostatnia edycja: 6 września 2014, godz. 10:22
***
Wszelkie uwagi/propozycje bądź znalezione błędy/nieścisłości w artykule proszę kierować na PW
Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną  Jendriu  3
 Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną - zadanie 2  loitzl9006  0
 Wartość bezwzględna  Anonymous  6
 Rozwiązywanie układów równań z wartością bezwzględ  Anonymous  2
 Wartość bezwzględna - zadanie 2  mateo19851  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl