szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 wrz 2014, o 16:19 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Bydgoszcz
Punkty: A(6,4), B(-3,7), C(-2,0) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Oblicz odległość punktu C od prostej AB i pole tego równoległoboku.

Błagam, pomóżcie. Bo nic a nic nie ogarniam.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 wrz 2014, o 16:24 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: szczecin
rozwiązanie czy wskazówki ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 wrz 2014, o 16:27 
Moderator

Posty: 3014
Lokalizacja: Starachowice
Możesz zrobić w oparciu o tablice maturalne (konkretnie potrzebne będą wzory z rozdziału 9 tablic - Geometria analityczna):
Najpierw wyznaczasz równanie prostej AB - jest to wzór pod tytułem "równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty A(x_A;y_A), B(x_B;y_B)"

potem przedstawiasz równanie wyznaczonej prostej w postaci ogólnej czyli Ax+By+C=0 gdzie A,B,C - liczby

potem korzystasz ze wzoru na odległość punktu C od prostej AB, gdzie C(-2;0) czyli wstawiasz x_0=-2, \ \ y_0=0

potem liczysz pole równoległoboku (które jest 2 razy większe od pola trójkąta ABC)
Jest w tablicach wzór taki z wart. bezwzględną znając współrzędne A,B,C można policzyć pole trójkąta
otrzymany wynik mnożysz przez 2. I to na tyle
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 wrz 2014, o 16:31 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Bydgoszcz
niestety dalej nie rozumiem. mógłby ktoś wyjaśnić wraz z obliczeniami krok po kroku? naprawdę będę bardzo wdzięczna.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 wrz 2014, o 16:37 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: szczecin
według mnie możesz zrobić tak
A(6,4) B(-3,7)
wykorzystujemy teraz sposób na tworzenie równania przechodzącej przez dwa punkty

potem korzystamy z wzoru na odległość punktu od prostej
i mam podpunkt a przechodzimy do podpunktu b
teraz musimy znaleśc punkt D korzystamy teraz z wzoru na środek odcinka

i w końcu możesz narysować sobie na wykresie i znajdziesz sobie wysokość która jest potrzebna do obliczenia pola
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 wrz 2014, o 16:50 
Moderator

Posty: 3014
Lokalizacja: Starachowice
pierwszy krok chcemy wyznaczyć równanie prostej AB.
Po to się to robi, aby później wykorzystać wzór na szukaną odległość punktu C od prostej. A w tym wzorze jest wymagane równanie prostej AB.
Aby wyznaczyć równanie prostej AB mamy taki wzór (y-y_A)(x_B-x_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0
wiadomo z treści zadania że A(6;4), \ B(-3;7) więc x_A=6, \ y_A=4, \ x_B=-3, \ y_B=7. Wstawiasz liczby do wzoru:
(y-4)(-3-6)-(7-4)(x-6)=0
upraszczasz co się da
(y-4)\cdot (-9)-3(x-6)=0 \\ -9y+36-3x+18=0 \\ -3x-9y+54=0 \ \ \ \ |:3 \\ -x-3y+18=0
To jest równanie prostej AB w postaci ogólnej
Teraz korzystasz ze wzoru na odległość punktu (x_0;y_0) od prostej Ax+By+C=0:
\frac{\left| Ax_0+By_0+C\right| }{\sqrt{A^2+B^2}}
Mamy policzyć odległość punktu (-2;0) od prostej -x-3y+18=0
więc wstawiamy do wzoru x_0=-2, \ y_0=0, \ A=-1, \ B=-3, \ C=18:
\frac{\left| -1\cdot (-2)-3\cdot 0+18\right| }{\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}}
upraszczamy
\frac{\left| 2-0+18\right| }{\sqrt{1+9}}=\frac{20}{\sqrt{10}}
\frac{20}{\sqrt{10}} jest szukaną odległością.
Liczysz pole trójkąta ABC. Po co ? Bo wiadomo, że trójkąt ABC jest połową pola równoległoboku ABCD - jak nie widzisz tego to narysuj dowolny równoległobok i narysuj jego przekątną - powstaną dwa trójkąty o równych polach
Pole trójkąta ABC gdzie A(x_A;y_A), \ B(x_B;y_B), \ C(x_C;y_C) liczysz ze wzoru:
P_{\Delta ABC}=\frac12\cdot\left| (x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)\right|
z treści zadania wynika, że x_A=6, \ y_A=4, \ x_B=-3, \ y_B=7, \ x_C=-2, \ y_C=0 wstawiasz to do wzoru i upraszczasz ile się da:
P_{\Delta ABC}=\frac12\cdot\left| (-3-6)(0-4)-(7-4)(-2-6)\right| \\ P_{\Delta ABC}=\frac12\cdot\left| (-9)\cdot (-4)-3\cdot (-8) \right| \\  P_{\Delta ABC}=\frac12\cdot\left|36+24 \right| =30
mnożymy to przez 2:
30\cdot2=60
Pole równoległoboku wynosi 60
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 wrz 2014, o 17:02 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Bydgoszcz
problem w tym, że odległość miałaby wynosić 2 całe i 10 pod pierwiastkiem, a pole 60, więc ten ostatni post jest chyba błędny. mam w podręczniku odpowiedzi do zadań, ale niestety muszę to jakoś rozwiązać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 wrz 2014, o 17:12 
Moderator

Posty: 3014
Lokalizacja: Starachowice
faktycznie, źle wstawiłem dane do wzoru na P_{\Delta ABC} już poprawiłem wychodzi tak jak w odp
co do odległości, to mam ok. Tylko w odp trochę inaczej ją przedstawili (usunęli pierwiastek z mianownika):
\frac{20}{\sqrt{10}}=\frac{20}{\sqrt{10}}\cdot\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{20\sqrt{10}}{10}=2\sqrt{10}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 wrz 2014, o 17:19 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Bydgoszcz
w sumie, na samym poczatku trzeba bylo obliczyc odleglosc miedzy punktami AB, wyszlo mi 3 cale i 10 pod pierwiastkiem. i potem odleglosc punktu C od prostej AB wynsilo 2 cale i 10 pod pierwiastkiem, to po prostu wzielam wzor na pole rownolegloboku, podstawilam pod a te 3 cale i 10 pod pierwiastkiem, i pod h 2 cale i 10 pod pierwiastkiem, wymnozylam to i wyszlo mi wlasnie 60, wiec chyba wydaje mi sie, ze ten sposob jest prostszy, ale naprawde dziekuje bardzo. prznajniej cos zrozumialam ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 wrz 2014, o 17:23 
Moderator

Posty: 3014
Lokalizacja: Starachowice
Racja - ze wzoru a\cdot h krócej niepotrzebnie kombinowałem
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 odległość od punktu  szelma  2
 Odległość od punktu - zadanie 2  Bartek1991  5
 rzut punktu na płaszczyznę - zadanie 4  hopas  0
 Odległość miedzy prostymi  gielet  10
 Współrzędna punktu C, gdzie suma jest najmniejsza.  Ujemny  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl