szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2014, o 18:44 
Użytkownik

Posty: 133
Lokalizacja: Gdańsk
Mam problem z takim o to zadaniem:

Znaleźć rzut punktu P(3,-2,4) na płaszczyznę \pi:5x+3y-7z+1=0 oraz jego symetryczne odbicie względem podanej płaszczyzny.

Nie spotkałem się osobiście wcześniej z takim zadaniem i nie wiem nawet jak zacząć. Jedynie to bym pomnożył coś tu wektorowo, ale co to da i czy jest sens tego nie wiem.
Będę wdzięczny za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2014, o 18:48 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18499
Lokalizacja: Cieszyn
Szukasz równania prostej prostopadłej do płaszczyzny \pi przechodzącej przez punkt P. Wektor równoległy masz za darmo. Niech punktem przecięcia płaszczyzny i prostej będzie O. Wtedy punkt symetryczny P' spełnia warunek \overrightarrow{PP'}=2\overrightarrow{PO}. Albo równoważnie: O jest środkiem odcinka PP', co oznacza, że współrzędne punktu O są średnimi arytmetycznymi współrzędnych punktu P(3,-2,4) i P'(x,y,z).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2014, o 19:33 
Użytkownik

Posty: 133
Lokalizacja: Gdańsk
No to liczę:

szw1710 napisał(a):
Szukasz równania prostej prostopadłej do płaszczyzny \pi przechodzącej przez punkt P. Wektor równoległy masz za darmo.


Ten wektor równoległy to : [5,3,-7]
Równanie prostej przechodzącej przez punkt P będzie miał postać:
\frac{x-3}{5} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-4}{-7}

Jest to postać kanoniczna prostej inaczej mówiąc, kierunkowa.
Przechodzę na postać parametryczną.

L:\left\{\begin{array}{l} x=5t+3 \\y=3t-2\\ z=-7t+4\end{array} \   gdzie \ \  t  \in R

Wyliczam parametr t, podstawiając liczby pod płaszczyznę \pi:5x+3y-7z+1=0

5 \cdot (5t+3) + 3 \cdot (3t-2) -7 \cdot (-7t+4)+1=0
t= \frac{18}{83}
Podstawiam wartość t do mojej postaci parametrycznej
i wychodzi mi punkt przebicia prostej z płaszczyzną, czyli nasz punkt O: \left( \frac{339}{83} , \frac{-112}{83} , \frac{206}{83}\right)

Czy do tego momentu zadanie zostało wykonane przeze mnie prawidłowo ? Wszystko rozpisywałem, żeby wiedzieć gdzie jest ewentualny błąd oraz dzięki temu bardziej rozumiem to zadanie. Ale nie wiem czy idę w dobrym kierunku.
Dziękuję ogólnie za odpowiedź w temacie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2014, o 20:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18499
Lokalizacja: Cieszyn
Dobrze robisz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2014, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 133
Lokalizacja: Gdańsk
Mhm fajnie, już wiem o co chodzi.

Wstawiam rysunek poglądowy, który myślę przedstawia moje zadanie:

Obrazek


Teraz tak.
Policzę punkt symetryczny do tej płaszczyzny, lecz skorzystam z tej drugiej opcji, którą podałeś.
Więc tak.

Mój punkt P wynosi (3,-2,4), a punkt O (punkt przebicia płaszczyzny) wynosi: \left( \frac{339}{83} , \frac{-112}{83} , \frac{206}{83}\right).

Punkt P' to będzie:

\frac{3+x'}{2}=  \frac{339}{83} , czyli x' =  \frac{429}{83}
\frac{-2+y'}{2}=  \frac{-112}{83}, czyli y'=  \frac{-58}{83}
\frac{4+z'}{2} = \frac{206}{83}, czyli z'=  \frac{80}{83}

P'=(\frac{429}{83}, \frac{-58}{83} , \frac{80}{83} )
Reasumując całe zadanie.
Odpowiedź brzmiałaby:
Rzut punktu P na podaną w zadaniu płaszczyznę wynosi O:\left( \frac{339}{83} , \frac{-112}{83} , \frac{206}{83}\right), a symetryczne odbicie tego punktu względem podanej płaszczyzny wynosi:P'=(\frac{429}{83}, \frac{-58}{83} , \frac{80}{83} )

Czy zadanie do końca jest dobrze zrobione ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2014, o 07:54 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18499
Lokalizacja: Cieszyn
Oczywiście nie sprawdzałem szczegółowo rachunków. Metoda poprawna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2014, o 08:40 
Użytkownik

Posty: 133
Lokalizacja: Gdańsk
Fakt, rachunki tutaj nie są zbyt fajne. Znaczy nie tyle, że trudne coś, tylko czasochłonne, ale sprawdzałem też za pomocą kalkulatora i było ok. Najważniejsze, że jest dobra metoda dobrana. Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Płaszczyzna i prosta.  Tasiak12  4
 Punkt symetryczny do punktu P względem prostej l  jednooki23  0
 Obraz punktu względem odcinka  damixd1  5
 płaszczyzna i odległości między tworami liniowymi  artinho_  1
 Wyznaczanie stycznej do krzywej st.2 poprowadzonej z punktu  jj09  14
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl