szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
PostNapisane: 23 wrz 2014, o 14:57 
Użytkownik
Na lekcji miałem zadanie: Dla jakiego parametru k proste k i l przecinają się w prostokącie. Był podany układ równań, trzeba było zapisać dwa warunki i całkiem proste. Jestem w 2kl lic więc nie mam wiedzy nt geometrii analitycznej, ale postawiłem sobie pytanie:

Dla jakiego parametru k proste k i l przecinają się w okręgu o promieniu 3, i środku w punkcie (x,y)=(1,1).
k: x+y=k
l: 2x-y=k-4

Właściwie to od czego powinienem zacząć się uczyć, abym był w stanie robić tego typu zadania? Prosiłbym też o jakieś wskazówki lub od razu o rozwiązanie :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2014, o 15:44 
Moderator

Posty: 3029
Lokalizacja: Starachowice
Od podstaw - jak ogarniesz dobrze podstawy i będziesz robił zadanka ze zrozumieniem to osiągniesz wystarczający poziom by rozwiązywać takie problemy jak ten co sobie postawiłeś. Ale poczekaj aż będziesz przerabiał takie zadania w szkole - wtedy zacznij cisnąć.

x+y=k \ \to \ y=k-x \\ 2x-y=k-4 \ \to \ 2x-k+4=y \\ k-x=2x-k+4 \\ -3x=-2k+4 \ \ \ \ |:(-3) \\ x=\frac23k-\frac43 \\ y=k-x \ \to \ y=k-\left( \frac23k-\frac43\right) \ \to \ y=\frac13k+\frac43

Punkt przecięcia prostych ma współrzędne \left( \frac23k-\frac43; \ \frac13k+\frac43\right)

Aby ten punkt przecinał się w okręgu (raczej: należał do okręgu?) to odcinek od punktu (1;1) do punktu \left( \frac23k-\frac43; \ \frac13k+\frac43\right)
ma być równy promieniowi okręgu czyli 3.
(Okrąg o środku S i promieniu r - zbiór punktów odległych od S o r)
(koło o środku S i promieniu r - zbiór punktów odległych od S co najwyżej o r)

Długość wspomnianego odcinka jest równa (korzystamy ze wzoru na długość odcinka):
\sqrt{\left( \frac23k-\frac43-1\right)^2+\left( \frac13k+\frac43-1\right)^2  } =\\=\sqrt{\left( \frac23k-\frac73\right)^2+\left( \frac13k+\frac13\right)^2 }=\sqrt{\frac49k^2-\frac{28}9k+\frac{49}9+\frac19k^2+\frac29k+\frac19}=\\=\sqrt{\frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9}

Aby odcinek należał do okręgu, to musi zachodzić równość
\sqrt{\frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9}=3
Rozwiązujemy równanie:
\sqrt{\frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9}=3 \ \ \ \ \ |()^2 \\ \frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9=9 \\ \frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9-\frac{81}9=0 \\ \frac59k^2-\frac{26}9k-\frac{31}9=0 \ \ \ \ \ |\cdot9 \\ 5k^2-26k-31=0 \\ \Delta=26^2-4\cdot5\cdot(-31)=676+620=1296 \ \to \ \sqrt\Delta=36 \\ k_1=\frac{26-36}{5\cdot2}=\frac{-10}{10}=-1 \\ k_2=\frac{26+36}{5\cdot2}=6.2=6\frac15

Długość odcinka musi być dodatnia, zatem \sqrt{\frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9}>0:
\frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9>0 \ \ \ \ \ \ \ |\cdot9 \\ 5k^2-26k+50>0 \\ \Delta=26^2-4\cdot5\cdot50=676-1000<0
Delta mniejsza od zera (w połączeniu z dodatnim współczynnikiem przy k^2) oznacza, że dla każdej liczby rzeczywistej k wyrażenie \frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9 jest dodatnie.

Jeśli nigdzie nie zrobiłem błędu to odp jest k\in\left\{ -1; \ 6\frac15 \right\}
Góra
PostNapisane: 23 wrz 2014, o 16:07 
Użytkownik
Ok dzięki, pewnie pouczę się podstaw, zobaczymy czy się zainteresuję tym działem :)

Rozwiązaniem nie powinien być przedział k \in \left\langle -1, 6 \frac{1}{5} \right\rangle?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2014, o 16:10 
Moderator

Posty: 3029
Lokalizacja: Starachowice
Tak by było jak by należał do koła
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 wrz 2014, o 17:52 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Warszawa
Zwróć uwagę na doprecyzowanie brzegów figury.
Twoje proste mogą się przecinać we wnętrzu prostokąta, czyli bez brzegów=nierówność ostra, lub należeć do prostokąta, czyli z brzegami=nierówność nieostra.
Podobnie z tym okręgiem, okrąg to jest wyłącznie obwódka koła.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan  Anonymous  5
 Okrąg prostopadły do wektora  Anonymous  2
 Wyznaczyć wart. param. dla których ukł. jest l. niezaleĹ  Anonymous  2
 Wyznaczyć równanie stycznej do okręgu  _el_doopa  2
 Dla jakiego param. a okrąg, prosta nie mają wspólnych pk  epimeteusz  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl