szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2014, o 18:44 
Użytkownik

Posty: 280
Lokalizacja: Warszawa
Czy podana funkcja jest różnowartościowa? Czy jest "na"?Podać dowód lub kontr przykład:
a)f : f: \RR -\{1\} \rightarrow \RR;    f(x)=\frac{3x+2}{x-1}=3 + \frac{5}{x-1}

1) Czy dobrze rozumiem że: suriekcja zachodzi wtedy gdy cała przeciwdziedzina jest tak jakby "zajęta", czyli każdy element z dziedziny przyjmuje jedene argument ze zbioru przeciwdziedziny, przy czym każdy element przeciwdziedziny jest przyporządkowany co najmniej jednemu elementowi dziedziny.
2) W tym przypadku nie zachodzi suriekcja ale funkcja jest różnowartościowa bo:
a)Dziedziną jest zbiór \RR-(1) a zbiorem rozwiązań są wszystkie liczby rzeczywiste poza wartością 3 bo je to funkcja wymierna o asymptotach : x = 1, y = 3
b) Natomiast jest różnowartościowa bo obrazem jest Hiperbola, która jest różnowartościowa.

Mógłbym przeprowadzić dowód na różnowartościowość, w każdym z przedziałów \left( - \infty ;1\right)\left( 1;+\infty\right), To jednak jest proste.

3) potrzebuję jednak dowodu że funkcja jest "na"? Jest takowy, czy wystarczy że powiem że jest na i koniec?
Z góry dzięki za krytykę. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2014, o 18:55 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Chyba mylą Ci się pojęcia. Surjekcja to właśnie funkcja "na", uzasadniłeś właśnie, że ta funkcja surjekcją nie jest. Uzasadnienie, że powodem tego jest nieprzyjmowanie wartości y=3 uznałbym za wystarczające (choć warto byłoby wiedzieć, jak to prosto uzasadnić formalnie, a nie opisowo).

Natomiast jeśli chodzi o różnowartościowość, to ciężko mi powiedzieć, czy opisowe uzasadnienie zostałoby uznane za wystarczające, tu też można przeprowadzić stosowne rachunki i dostać dowód formalny. Natomiast pomysł na dowód na różnowartościowość w każdym z przedziałów jest niedobry, bo to, że funkcja jest różnowartościowa na przedziałach nie oznacza, że jest różnowartościowa w ogóle.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2014, o 19:03 
Gość Specjalny

Posty: 3011
Lokalizacja: Gołąb
1. Dokładnie tak. Tak należy to rozumieć.
2. Jest dobrze, może poza zapisem:
Cytuj:
W tym przypadku nie zachodzi suriekcja

Wypadałoby jednak napisać: "Funkcja nie jest surjekcją" albo coś podobnego zamiast tego.
Cytuj:
Natomiast jest różnowartościowa bo obrazem jest Hiperbola, która jest różnowartościowa.

To uzasadnienie jest niewystarczające. Proszą o dowód, więc go zrób, z wykorzystaniem definicji:
\forall x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow  f\left( x_{1}\right)\neq f\left( x_{2}\right)
Nie trzeba tu się rozbijać na dwa przedziały, tak byłoby trzeba zrobić w przypadku dowodzenia monotoniczności. Poza tym, jeśli funkcja jest różnowartościowa w dwóch rozłącznych przedziałach, to wcale nie musi być różnowartościowa wszędzie.
3. Jeśli określimy funkcję f: \RR \setminus \left\{ 1\right\}  \rightarrow  \RR \setminus \left\{ 3\right\} to funkcja jest już "na". Dowód mógłby wyglądać tak. Weźmy dowolny y \neq 3. Zauważmy, że wówczas z równania funkcji mamy x=\frac{5}{y-3}. Więc f\left( x\right)=y dla dowolnego y \neq 3, więc funkcja jest "na".
Mam nadzieję, że napisałem w miarę zrozumiale. Ogólnie idea dowodu jest taka, żeby dla dowolnego elementu przeciwdziedziny y wskazać element z dziedziny x, dla którego zachodzi y=f\left( x\right).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2014, o 21:17 
Użytkownik

Posty: 280
Lokalizacja: Warszawa
bakala12 napisał(a):
Cytuj:
Natomiast jest różnowartościowa bo obrazem jest Hiperbola, która jest różnowartościowa.

To uzasadnienie jest niewystarczające. Proszą o dowód, więc go zrób, z wykorzystaniem definicji:
\forall x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow  f\left( x_{1}\right)\neq f\left( x_{2}\right)


No tak, napisałem zadanie w całości, ale głównie chodziło mi o suriekcje, by udowodnić.
Cytuj:
Nie trzeba tu się rozbijać na dwa przedziały, tak byłoby trzeba zrobić w przypadku dowodzenia monotoniczności. Poza tym, jeśli funkcja jest różnowartościowa w dwóch rozłącznych przedziałach, to wcale nie musi być różnowartościowa wszędzie.

pomyliłem dowód zwiącany z monotonicznością. Dzięki za zwrócenie uwagi



Poza tym dzięki za dowód który napisałeś :) Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2014, o 21:37 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
rymek94 napisał(a):
No tak, napisałem zadanie w całości, ale głównie chodziło mi o suriekcje, by udowodnić.

Surjekcji się nie udowadnia, można udowodnić, że funkcja jest bądź nie jest surjekcją. W tym wypadku nie jest.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcje uwikłane / podac przykład odpowiedniej funkcji :)  matmamatma  0
 Przykład funki ciągłej  Amrath  6
 Przykład funkcji złożonej  winfast29  2
 podaj przykład funkcji - zadanie 2  HANKA  0
 Złożenie funkcji. Konkretny przykład. - zadanie 2  majkinek  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl