szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Online
PostNapisane: 29 wrz 2014, o 02:16 
Użytkownik

Posty: 264
Lokalizacja: Opole
Wykaż, że dla dowolnych naturalnych m i n liczba mn( m^{3}- n^{3})( m^{3}+ n^{3} ) jest podzielna przez 42.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2014, o 06:46 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Nie będę psuć innym zabawy, więc ukrywam swoje mało ambitne rozwiązanie:
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 29 wrz 2014, o 07:21 
Użytkownik

Posty: 264
Lokalizacja: Opole
Ślicznie! A teraz zapraszam ambitnych do udowodnienia odkrytej przeze mnie podzielności metodami matematyki elementarnej. Zapewniam, że da się zrobić to na poziomie matematyki rozszerzonej szkoły ponadgimnazjalnej - mimo dwóch zmiennych, które mogę nieco utrudniać dojście do celu :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2014, o 07:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1378
Lokalizacja: Katowice
podzielność przez 2: mn(m^3-n^3)(m^3+n^3)=n\cdot(m-n)m\cdot \text{coś tam}
jeśli 2 \mid n to dobrze, a jeśli nie, to m, m-n są różnej parzystości, czyli któryś z czynników jest parzysty

podzielność przez 3: mn(m^3-n^3)(m^3+n^3)=n\cdot(m-n)m(m+n)\cdot \text{coś tam}
jeśli 3\mid n to dobrze, a jeśli nie, to m-n, m, m+n dają różne reszty z dzielenia przez 3, czyli któryś z czynników dzieli się przez 3

podzielność przez 7:
mn(m^3-n^3)(m^3+n^3)= \\ n\cdot(m-3n)(m-2n)(m-n)m(m+n)(m+2n)(m+3n) + 7mn(2n^4m^2-7m^2n^4+5n^6)
jeśli 7\mid n to dobrze, a jeśli nie, to m-3n, m-2n, m-n, m, m+n, m+2n, m+3n dają różne reszty z dzielenia przez 7, czyli któryś z czynników dzieli się przez 7
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 29 wrz 2014, o 11:21 
Użytkownik

Posty: 264
Lokalizacja: Opole
mn( m^{3}+ n^{3})( m^{3}- n^{3})=mn( m^{6}- n^{6})
a teraz robimy mały hokus-pokus :) i dostajemy:
n m^{7}-mn ^{7}=n( m^{7}-m)-m( n^{7}-n), żeby w nawiasach otrzymać znane wyrażenia podzielne przez 42, niejednokrotnie udowadniane na wiele sposobów na FORUM.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 10  Edzia88  1
 liczba podzielna przez 61  davidd  2
 Podzielność z potęgami o różnych podstawach  bento  4
 wykaz podzielnosc, nie indukcyjnie  setto  3
 podzielność przez 5, algebra  trybut  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl