szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 wrz 2014, o 07:48 
Użytkownik

Posty: 274
Lokalizacja: Opole
Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 5, to liczba p ^{4}-1 jest podzielna przez 240.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 30 wrz 2014, o 08:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10605
Lokalizacja: Wrocław
240=5 \cdot 2 ^{4} \cdot 3 (i te czynniki są parami względnie pierwsze). p ^{4}-1=(p+1)(p-1)(p ^{2}+1) Zarówno p+1, jak ip-1 dzielą się przez 2, bo p nieparzyste, a ponadto dokładnie jedna z nich dzieli się przez 4. Podobnie p ^{2}+1 jest parzyste, więc podzielność przez 2 ^{4} jest załatwiona. Ponadto liczby p-1,p,p+1 reprezentują wszystkie możliwe reszty z dzielenia przez 3, ale p nie dzieli się przez 3, więc któraś z liczb p-1, p+1 się dzieli. Nad piątką sam pomyśl (podpowiedź: Małe Twierdzenie Fermata).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 wrz 2014, o 09:56 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Ta, a co do piątki to można zrobić tak, że p jest postaci p=5r+1 \vee p=5r+2 \vee p=5r+3 \vee p=5r+4, gdzie r \in N. Jeśli p=5r+1 to czynnik p-1 jest podzielny przez 5, jeśli p=5r+4 to czynnik p+1 jest podzielny przez 5. Natomiast jeśli p=5r+2 lub p=5r+3 to czynnik p ^{2}+1 jest podzielny przez 5.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 wrz 2014, o 11:11 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Podzielność przez 5 można jeszcze załatwić inaczej:
p^{4}-1=\frac{p^{5}-p}{p}=\frac{\left(p-2\right)\left(p-1\right)p\left(p+1\right)\left(p+2\right)+5\left(p-1\right)p\left(p+1\right)}{p}
Pierwszy składnik licznika jest podzielny przez 5 bo jest iloczynem kolejnych pięciu liczb całkowitych, drugi też, zatem cały licznik jest podzielny, a mianownik z założenia nie jest, stąd cała liczba jest podzielna przez 5.
Podobnie wyrażenie to podzielne jest przez 3
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielnosc przez 6 - zadanie 2  SzopenPL  8
 suma szescianów liczb naturalnych  adam.20  3
 Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 96...  agusSia  1
 Reszta z dzielenia przez 3 dwóch liczb i ich iloczynu.  Rafael_Barca  2
 podzielność liczby przez 12  esperaanza  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl