szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2014, o 06:53 
Użytkownik

Posty: 274
Lokalizacja: Opole
Wykaż metodami elementarnymi (bez pomocy kongurencji), że 3^{53}+ 5^{35} dzieli się na 8.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2014, o 07:20 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Liczba jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba złożona z trzech ostatnich jej cyfr jest podzielna przez 8. Z niczego więcej nie skorzystam, a że rozwiązanie jest całkowicie elementarne, ukryłem je przed okiem osób chcących zrobić je inaczej i bez wzorowania się na moim.
Ukryta treść:    
Góra
PostNapisane: 2 paź 2014, o 09:16 
Użytkownik
3^{53} +5^{35} =(3^{53} +5^{53} )- 5^{35} (5^{18} -1)=(5+3)(5^{52} -5^{51} \cdot 3 +...-5\cdot 3^{51} +3^{52} ) -5^{35} (5^6 -1 )(5^{12} +5^6 +1) =8\cdot (5^{52} -5^{51} \cdot 3 +...-5\cdot 3^{51} +3^{52} ) -5^{35} \cdot 8\cdot 1953 \cdot (5^{12} +5^6 +1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2014, o 16:18 
Administrator

Posty: 21227
Lokalizacja: Wrocław
3^2\equiv 1\pmod{8}, więc 3^{52}\equiv 1\pmod{8}, więc 3^{53}\equiv 3\pmod{8}.
5^2\equiv 1\pmod{8}, więc 5^{34}\equiv 1\pmod{8}, więc 5^{35}\equiv 5\pmod{8}.

Wobec tego 3^{53}+5^{35}\equiv 0\pmod{8}.

JK

edit: Nie doczytałem, że bez kongruencji...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podzielnosc przez 8  Paul0s  2
 Podzielnosc przez 8 - zadanie 3  Piotrek5k  1
 podzielnosc przez 8 - zadanie 12  17inferno  5
 Podzielność przez 8 - zadanie 15  PhDPhatDragon  5
 podzielnosc przez 8 - zadanie 13  matos94  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl