szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2014, o 18:36 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Goworowo
Ostatnio robiłem kilka zadań z geometrii, gdzie pojawiały się okręgi i wykorzystywało się, że okrąg wpisany w wielokąt jest jednoznaczny i natchnęło mnie to do postawienia pytania:

Czy dla każdego naturalnego n istnieją figury w które można wpisać n różnych okręgów, ale już nie n+1?

Gdzie oczywiście od razu wyłaniają się 2 problemy powodujące nieścisłość pytania:
1)Co to jest figura?
2)Co to znaczy wpisać okrąg w figurę?

Pierwszy problem rozwiązuję taką definicją:
Figura: jest to wycięty obszar płaszczyzny przez uogólnioną łamaną zwyczajną zamkniętą plus ta łamana.
Uogólnienie tej łamanej polega(intuicyjnie) na tym, że odcinki zastępujemy krzywymi różniczkowalnymi, gdzie punkty nieróżniczkowalne(tj. te w których mamy ,,ostry zwrot'') są zwane wierzchołkami tej łamanej, a część łamanej pomiędzy dwoma kolejnymi wierzchołkami(może to być ten sam wierzchołek)(idąc po łamanej) nazywamy bokiem tej łamanej, oraz przyjmuję, że łamana może nie mieć wierzchołków i mieć przez to 1 bok.
Boki i wierzchołki łamanej są odpowiednio bokami i wierzchołkami figury, którą ,,wyznacza".

Drugi problem rozwiązuję tak:
,,Wpisać okrąg w figurę" oznacza oczywiście znaleźć okrąg wpisany w nią, więc niech taka bedzie definicja:
Okrąg wpisany w figurę to okrąg, który:
1)jest cały zawarty w figurze
2)jest styczny do każdego jej boku
2.5)ma z każdym bokiem tylko 1 punkt wspólny

Gdzie przez styczność okręgu do boku figury w danym punkcie rozumiem styczność okręgu do prostej stycznej do tego boku w tym punkcie.


I mając teraz rozwiązane te problemy pytam ściśle:
Czy dla każdego n naturalnego istnieje figura w którą można wpisać n różnych okręgów, ale nie można n+1?

Ja osobiście nie mam pojęcia jaka jest odpowiedź, ale podejrzewam, że zachodzi coś takiego:
W figurę można wpisać 0, 1 lub +\infty okręgów.

Ktoś ma może jakiś pomysł jak znaleźć odpowiedź na to pytanie?

PS. Nie jestem pewny, czy dobrze wybrałem dział geometrii na ten problem, ale że pojawia się tutaj intuicyjna różniczkowalność, a różniczkowanie jest w geometrii analitycznej to wybrałem ją.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2014, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 15036
Lokalizacja: Bydgoszcz
Mam poważny problem z Twoją definicją: z ilu kawałków składa się brzeg koła? bo jak z jednego, to w myśl Twojej definicji każdy okrąg wewnętrznie styczny jest wpisany.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2014, o 16:15 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Goworowo
Tak to jest prawdą. Wedle mojej definicji koło ma jeden brzeg(chodzi o bok?) i każdy wewnętrznie styczny okrąg z nim jest w niego wpisany. Przez to ilość rożnych okręgów wpisanych w niego to na pewno +\infty.(ogólnie wierzchołek to punkt przerwania się różniczkowalności, a bok to część brzegu pomiędzy kolejnymi wierzchołkami, chyba, że wierzchołków nie ma, wtedy całość jest bokiem jak jest jeden wierzchołek, to też mamy jeden bok[bo idąc po brzegu kolejnym wierzchołkiem będzie on sam, więc jest jeden bok])

Elipsy i inne powyginane(gładko), ale nie po wykrzywiane(ostro) koła(figury posiadające 0 wierzchołków) także raczej mają tą własność, bo zachodzi coś takiego: wybieramy sobie jakiś punkt na brzegu(boku) prowadzimy przez niego styczną, a potem możemy chyba zawsze dobrać tak promień, aby nigdzie indziej poza punktem styczności pewien okrąg nie miał punktu wspólnego z bokiem i był we wnętrzu tej figury, wtedy okrąg taki jest wpisany w tą figurę. Możemy to zrobić dla dowolnego punktu, więc ilość tych okręgów to +\infty.

Ojejciu; Chyba zakładam jeszcze dodatkowo niepustość figury co jest równoważne, że jakiś bok ma niezerową długość w tej figurze(ale to chyba mało ważne->po prostu punkt nie jest figurą wedle mojej definicji), czyli dla figury konieczne jest istnienie boku, ale niekoniecznie wierzchołka.

Dodatkowo rozumowanie o elipsach i innych takich powyginanych kołach można łatwo przenieść na figury o jednym wierzchołku. Tam po prostu można ominąć sąsiedztwo wierzchołka, a po reszcie zrobić rozumowanie jak powyżej. Które może nie być poprawne, ale jakby było to ukazuje, że jeśli chcemy, np. pokazać figurę spełniającą żądanie dla pewnego naturalnego n to można w ogóle pominąć z rozważań figury o braku, lub jednym wierzchołku. Które chciałem, aby były figurami wedle mojej definicji, bo głupio by było jakby na przykład koło nie było figurą.




Wspaniale byłoby w ogóle znaleźć jakikolwiek przykład figury, która ,,spełnia pytanie'' dla jakiegoś n>1. Ja nic nie znalazłem(możliwe, że nie dostrzegam jakieś łatwej konstrukcji :idea: ), ale próbuję w wolnych chwilach coś wyrysować.

PS. Jeśli coś napisałem nie jasno to przepraszam i prosiłbym o wskazanie takiego fragmentu. Spróbuje go inaczej ująć. Oraz jeśli są jakieś wątpliwości co do tych definicji to też proszę o napisanie ich postaram się je rozwiać w końcu to moje definicje -> powinienem móc to zrobić. :lol:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2014, o 16:52 
Użytkownik

Posty: 15036
Lokalizacja: Bydgoszcz
nadal wątpliwości do definicji: przecież to samo koło możesz rozpartywac jako figurę z jednym brzegiem, ale równiw dobrze z dwoma (każde z półkoli jest brzegiemm), trzema itd.
A co powiesz na trójkąt równoboczny ABC, w który można wpisac okrąg, a jak na boku BC dodamy punkt D, to już nie?

Czy w swietle Twojej definicji w taki "startrekowy" deltoid da się wpisac okrąg?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2014, o 18:09 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Goworowo
a4karo napisał(a):
nadal wątpliwości do definicji: przecież to samo koło możesz rozpartywac jako figurę z jednym brzegiem, ale równiw dobrze z dwoma (każde z półkoli jest brzegiemm), trzema itd.

Nie mogę, nigdzie nie przerywa się różniczkowalność(nie ma ostrego przejścia jak np. w wykresie funkcji y=|x| dla punktu (0,0). Brzegi(boki) są pomiędzy kolejnymi wierzchołkami o ile conajmniej 1 taki istnieje. Jeśli nie istnieje mamy jeden bok/brzeg(chociaż brzeg jest pojęciem ogólniejszym mi się zdaje).

a4karo napisał(a):
A co powiesz na trójkąt równoboczny ABC, w który można wpisac okrąg, a jak na boku BC dodamy punkt D, to już nie?
Czy w swietle Twojej definicji w taki "startrekowy" deltoid da się wpisac okrąg?

Jeśli go oznaczymy(on tam cały czas jest) jako D to nie jest on wierzchołkiem, bo nie przerywa tam się różniczkowalność odcinka BC, więc dalej da się wpisać ten okrąg.

Dam taki przykład, klasyczne walentynkowe serce jest w myśl mojej definicji figurą o dwóch bokach i dwóch wierzchołkach(bo w dwóch miejscach przerywa się różniczkowalność). Klasyczne to mniej więcej takie:
http://www.tik-tak.pl/kolorowanki/files ... 0_s600.jpg
A na tym obrazku:
http://www.medianauka.pl/matematyka/gra ... unek60.jpg
W a) mamy zacieniowaną figurę o 3 bokach i 3 wierzchołkach.
W b) mamy zacieniowaną figurę o 6 bokach i 6 wierzchołkach.
A na tym:
http://dobiho.com/wp/gallery/albums/blo ... 341469.png
mamy figurę o dwóch wierzchołkach i dwóch bokach.
Natomiast tutaj:
http://www.medianauka.pl/matematyka/gra ... res237.jpg
Mamy figurę(zakreskowaną na różowo) o dwóch wierzchołkach i takiej samej ilości boków.
A tutaj:
http://i.ytimg.com/vi/usBQvx08KzM/maxresdefault.jpg
to żółte ma dwa wierzchołki przez co 2 boki.

Sądzę, że teraz powinno to być jaśniejsze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 styczne do dwóch okręgów - zadanie 2  rafał_  1
 Okrąg styczny do danych dwóch okręgów  pheonix999  5
 Położenie 2 okręgów  PeJot  1
 znajdz rownanie okregow majac rownanie elipsy  jessicala  4
 rownania okregow  joljaO  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl