szukanie zaawansowane
 [ Posty: 23 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2014, o 20:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 245
Lokalizacja: Wrocław
Męczę się z pewnym przykładem i nie wiem czy moje rozwiązanie jest formalnie poprawne
10n <2^n+25 Muszę udowodnić że dla każdego n naturalnego nierówność jest prawdziwa

Domyślam się ze nie mogę zrobić tego w taki sposób:
10n+10<2^2+25+10< 2^{n+1}+25 bo miałoby to sens dla n \ge 4
chce rozpisać to na 2 przypadki, dla n \le 3 i n>4
Dla n \le 3 widać gołym okiem że : 10n<2^n+25 więc wiemy że dla n \le 3 nierówność jest prawdziwa
Pozostaje n >3
łatwo można sprawdzić że dla n>3 2^n+25+10<2 \cdot 2^n+25
a więc:
10n+10 < 2^2+25+10<2 \cdot 2^n+25
Z czego wynika że nierówność 10n <2^n+25 spełniona jest dla każdego n należącego do N
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2014, o 20:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11184
Lokalizacja: Wrocław
Przepraszam, ale zbyt chaotycznie to zapisałeś, bym zrozumiał, co masz na myśli (nierówność w dwie strony w jednej linijce, itd.).
A jeśli chodzi o zadanie, to dla n=1 łatwo sprawdzić prawdziwość tezy (lub dla n=0, jeśli ktoś uzna, ze jest naturalne), zaś w kroku indukcyjnym pomocna może być własność2 ^{n+1}=2 ^{n}+2 ^{n}. Dla n \ge 4 mamy bowiem 2 ^{n}>10,a pierwsze trzy-cztery przypadki można w ostateczności sprawdzić na placach.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 paź 2014, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 14103
Lokalizacja: Bydgoszcz
Często zdarza się tak, że dowód indukcyjny "idzie" dopiero od pewnego N, a do tego miejsca trzeba sobie radzić inaczej, np. na piechotę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2014, o 21:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 245
Lokalizacja: Wrocław
A np taki przykład:
np:{2n+3\choose n}< \frac{3}{2}  \cdot 4^n
Muszę dojśc do tego że \frac{2n+5!}{(n+1)!(n+4)!}< \frac{3}{2} \cdot 4^n \cdot 4=6 \cdot 4^n
rozpisuję to tak:
\frac{2n+5!}{(n+1)!(n+4)!}< \frac{3}{2} \cdot 4^n+ \frac{(2n+4)(2n+5)}{(n+1)(n+4)}
a więc teraz muszę sprawdzić czy rzeczywiście 6 \cdot 4^n>\frac{3}{2} \cdot 4^n+ \frac{(2n+4)(2n+5)}{(n+1)(n+4)}
po przekształceniach wychodzi mi: 4^n> \frac{2n^2+9n+10}{9n^2+45n+36}
A tutaj widać ze dla dowolnego n należącego do naturalnych prawa strona zawsze będzie mniejsza od lewej
Czy takie rozwiązanie jest prawidłowe?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2014, o 21:31 
Moderator

Posty: 1953
Lokalizacja: Trzebiatów
Cytuj:
A tutaj widać ze dla dowolnego n należącego do naturalnych prawa strona zawsze będzie mniejsza od lewej

Nie przejdzie nigdy takie uzasadnienie.
Ale wystarczy zauważyć, że przecież
4^n \ge  1 >\frac{2n^2+9n+10}{9n^2+45n+36}
To jest na pewno oczywiste i to widać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2014, o 21:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 245
Lokalizacja: Wrocław
Czyli po przekształceniu równania do: 4^n> \frac{2n^2+9n+10}{9n^2+45n+36}
zapiszę to w taki sposób :4^n> 1 >\frac{2n^2+9n+10}{9n^2+45n+36} to wtedy zadanie będzie rozwiązane poprawnie tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2014, o 21:50 
Moderator

Posty: 1953
Lokalizacja: Trzebiatów
Skąd wziąłeś tą nierówność
\frac{2n+5!}{(n+1)!(n+4)!}< \frac{3}{2} \cdot 4^n+ \frac{(2n+4)(2n+5)}{(n+1)(n+4)} ?
Poza tym czy w liczniku nie powinno być (2n+5)! ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2014, o 22:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 245
Lokalizacja: Wrocław
tak powinno być (2n+5)!, co do nierówności to już widzę że chyba powinno być \frac{(2n+5)!}{(n+1)!(n+4)!}< \frac{3}{2} \cdot 4^n \cdot  \frac{(2n+4)(2n+5)}{(n+1)(n+4)}
bo mnożąc \frac{(2n+3)!}{(n+3)!(n)!}  \cdot  \frac{(2n+4)(2n+5)}{(n+1)(n+4)} otrzymam \frac{(2n+5)!}{(n+4)!(n+1)!} tak? Czy znów napisałem głupoty?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2014, o 22:26 
Moderator

Posty: 1953
Lokalizacja: Trzebiatów
Powinieneś skorzystać po prostu z założenia.
\frac{(2n+5)!}{(n+1)!(n+4)!} < 4 \cdot  \frac{(2n+3)!}{n!(n+3)!} <4\cdot(\frac{3}{2}  \cdot 4^{n})  =  4^{n+1} \cdot  \frac{3}{2}
Mnożąc na krzyż mamy, że
(2n+5)!n!(n+3)!<4(2n+3)!(n+1)!(n+4)!
(2n+4)(2n+5)<4(n+1)(n+4)
4n^{4}+18n + 20 < 4n^{2}+20n+16
2 < n
Pozostałe przypadki ręcznie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2014, o 20:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 245
Lokalizacja: Wrocław
Jeszcze jeden przykład
{3n\choose n}<7^n
Liczę:
{3n+3\choose n+1}= \frac{(3n+3)!}{(2n+2)!(n+1)1}<7 \cdot  \frac{3n!}{2n! \cdot n!}<7 \cdot 7^n=7^{n+1}
Sprawdzam:
(3n+3)!(2n)!(n)!<7(3n)!(2n+2)!(n+1)!
Po wyliczeniu wychodzi:
n^3+16n62+21n+8>0
a dla n\ge 1 jest tak: n^3+16n62+21n+8>1>0
jest ok?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2014, o 20:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11184
Lokalizacja: Wrocław
Jest poprawnie. Warto oczywiście dopisać bazę indukcji, napisać, co jest założeniem indukcyjnym, co jest tezą, itd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2014, o 20:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 245
Lokalizacja: Wrocław
Tak to oczywiste, ale pozwoliłem napisać sobie tylko samo rozwiązanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2014, o 20:20 
Moderator

Posty: 1953
Lokalizacja: Trzebiatów
Tok rozumowania dobry.
Co do obliczeń to wolfram mi podpowiada, że powinno być 23n zamiast 21n. Co do samej nierówności, to zobacz w jakiej dziedzinie działamy, czyli, że n  \in N więc są to liczby nieujemne stąd na pewno n^{3} + 16n^{2}+23n+8  \ge 8 > 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2014, o 20:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 245
Lokalizacja: Wrocław
A w przypadku gdzie jest tak:
{2n+4\choose n}< 2^{2n+1}
robię to tak:
\frac{(2n+6)!}{(n+1)!(n+5)!}<2^2 \cdot  \frac{(2n+4)!}{(n+4)!n!}< 2^{2n+1} \cdot 2^2= 2^{2n+3}
Sprawdzam i wychodzi:
2n+10 \ge 12>0 jeśli przyjmę że liczby naturalne są \ge 1
Prędzej zamiast 2^2 wstawiałem 2^3 ale wtedy nie było by pewności że:
2^3 \cdot \frac{(2n+4)!}{(n+4)!n!}< 2^{2n+1} \cdot 2^2
Mam rację? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2014, o 21:02 
Moderator

Posty: 1953
Lokalizacja: Trzebiatów
Tak.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 23 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja matematyczna - zadanie 21  Krzysiu91  8
 Indukcja matematyczna - zadanie 51  Speed094  13
 indukcja matematyczna - zadanie 18  maryjusz  1
 indukcja matematyczna - zadanie 22  Krzysiu91  2
 indukcja matematyczna - zadanie 6  MarlenQs  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl