szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2014, o 11:20 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Warszawa
Witam,

Mój problem polega na tym, że ciężko mi zastosować wartość bezwzględną w praktyce i obliczać przykłady w których się ona znajduje.
Byłbym wdzięczny za naprowadzenie na to, jak powinny wyglądać obliczenia poniższych zadań z wartością bezwzględną. Nie rozumiem w ogóle, jak takie przykłady z modułem należy podstawić do wzorów...

1. Dana jest funkcja f(x) =  -x^{2} + 4\left|x\right| -5. Wykaż na podstawie definicji, że jest ona parzysta oraz nie jest różnowartościowa. Na jakim zbiorze funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie?

2. Narysuj wykres funkcji f(x) =  \frac{\left| x-1\right| }{x-1} (x^{2} - 4). Udowodnij z definicji, że nie jest ona nieparzysta. Podaj przedziały, na jakich jest ona rosnąca i przedziały, na jakich jest ona malejąca. Na jakim zbiorze funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a na jakim ujemne? Jaki jest zbiór wartości tej funkcji?

Dzięki z góry za pomoc.
Góra
PostNapisane: 7 paź 2014, o 12:06 
Użytkownik
Od razu skorzystaj z definicji wartości bezwzględnej
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2014, o 12:57 
Użytkownik

Posty: 2043
Lokalizacja: Warszawa
Przytoczmy tę definicję

\left| cokolwiek\right|= \begin{cases} cokolwiek \ \hbox{dla} \ cokolwiek \ge 0 \\ - cokolwiek \ \hbox{dla}  \ cokolwiek <0\end{cases}

Przytoczmy też definicje funkcji parzystej i nieparzystej:

Niech D oznacza dziedzinę funkcji

• Powiemy, że funkcja f(x) jest parzysta \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{x\in D \ \wedge  -x\in D} f(-x)=f(x)
Konsekwencją parzystości funkcji, jest symetria jej wykresu względem osi OY

• Powiemy, że funkcja f(x) jest nieparzysta \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{x\in D \ \wedge  -x\in D} f(-x)=-f(x)

Konsekwencją nieparzystości funkcji, jest symetria jej wykresu względem środka układu współrzędnych O

Zauważ, że dziedziny fonkcji parzystyxh i nieparzystych muszą być symetryczne względem x=0

Na koniec definicja funkcji różnowartościowej:

• Powiemy, że funkcja f(x) jest różnowartościowa \Leftrightarrow dla dowolnych dwóch elementów a, b \in D spełniony jest warunek

a \ne b \Rightarrow f(a) \ne f(b)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 06:26 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Warszawa
Próbowałem rozwiązać zadanie 1, ale nie udało mi się obliczyć czy funkcja jest różnowartościowa właśnie z powodu wartości bezwzględnej.

Sprawdzenie czy funkcja jest różnowartościowa:
Zalozenie:
 x_{1} - x_{2}  \neq 0

Teza:
f(x_{1}) - f(x_{2}) = 0

f(x_{1}) - f(x_{2}) = -x_{1}^{2} + 4\left| x_{1}\right| - 5 - (-x_{2}^{2} + 4\left| x_{2} \right| - 5) = -x_{1}^{2} + 4\left| x_{1} \right| - 5 + x_{2}^{2} - 4 /left| x_{2} \right| + 5 = -x_{1}^{2} + 4 \left| x_{1} \right| + x_{2}^{2} - 4\left| x_{2} \right|

Nie wiem co z tym dalej zrobić
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 08:07 
Użytkownik

Posty: 2043
Lokalizacja: Warszawa
Cytuj:
1. Dana jest funkcja f(x) = -x^{2} + 4\left|x\right| -5. Wykaż na podstawie definicji, że jest ona parzysta oraz nie jest różnowartościowa. Na jakim zbiorze funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie?

Hmm... Popatrzmy:

Pokażmy, że funkcja jest parzysta, czyli że f(-iks)=f(iks)

f(-x)= -(-x)^{2} + 4\left|-x\right| -5= -(-1)^2 \cdot x^2+ 4\left| -1\right| \left|x\right| -5= \\ =-x^{2} + 4\left|x\right| -5= f(x)

Ponieważ funkcja jest parzysta, to nie jest różnowartościowa. Weźmy dowolny iks i przeciwny do niego, i wstawmy do funkcji, a z pewnością uzuskamy tę samą wartość funkcji, co dowodzi, że istnieją dwa różne iksy, dla których fnkcja przyjmuje tę samą wartość.
Wykres funkcji parzystej jest przecież symetryczny wzgl. osi OY, a jeśli tak, to musi istnieć jeden igrek odpowiadający co najmniej dwóm iksom, co dowodzi, że funkcja parzysta nie może być różnowartościowa.

:)

-- 8 paź 2014, o 08:33 --

2. Narysuj wykres funkcji f(x) = \frac{\left| x-1\right| }{x-1} (x^{2} - 4). Udowodnij z definicji, że nie jest ona nieparzysta. Podaj przedziały, na jakich jest ona rosnąca i przedziały, na jakich jest ona malejąca. Na jakim zbiorze funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a na jakim ujemne? Jaki jest zbiór wartości tej funkcji?

Popatrzmy na tę funkcję, pamiętając, że x=1 nie należy do dziedziny:

f(x) = \frac{\left| x-1\right| }{x-1} (x^{2} - 4)= \begin{cases} \frac{ x-1 }{x-1} (x^{2} - 4)= x^{2} - 4 \ \hbox{dla} \ x-1 \ge 0, \ \hbox{czyli \ dla} \ x > 1 \\ \frac{\left-(  x-1\right)  }{x-1} (x^{2} - 4)= -\left( x^{2} - 4\right) \ \hbox{dla} \ x-1 < 0, \ \hbox{czyli \ dla} \ x < 1  \end{cases}

Cytuj:
Podaj przedziały, na jakich jest ona rosnąca i przedziały, na jakich jest ona malejąca. Na jakim zbiorze funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a na jakim ujemne? Jaki jest zbiór wartości tej funkcji?

Myślę, że z łatwością się z tym uporasz. :)

Cytuj:
Udowodnij z definicji, że nie jest ona nieparzysta.


f(-x)= \frac{\left| -x-1\right| }{-x-1} (x^{2} - 4)=\frac{\left| -1\right|\left( x+1\right)  }{-(x+1)} ((-x)^{2} - 4)=- \left( x^{2} - 4\right)

zaś

f(x) = \frac{\left| x-1\right| }{x-1} (x^{2} - 4)= \begin{cases} \frac{ x-1 }{x-1} (x^{2} - 4)= x^{2} - 4 \ \hbox{dla} \ x-1 \ge 0, \ \hbox{czyli \ dla} \ x > 1 \ (\hbox{nierówność \ ostra, \ bo } \ x \neq 1) \\ \frac{\left-(  x-1\right)  }{x-1} (x^{2} - 4)= -\left( x^{2} - 4\right) \ \hbox{dla} \ x-1 < 0, \ \hbox{czyli \ dla} \ x < 1  \end{cases}

co pokazuje, że f(-x) \neq f(x), a więc funkcja nie jest parzysta.

:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 08:39 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Warszawa
To mam takie pytanie:

Można założyć, że każda funkcja z wartością bezwzględną nie jest różnowartościowa? I takim stwierdzeniem to wykazać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 08:56 
Użytkownik

Posty: 2043
Lokalizacja: Warszawa
Cytuj:
Można założyć, że każda funkcja z wartością bezwzględną nie jest różnowartościowa?


Nie wiem, trzeba by to udowodnić dla wszystkich funkcji z wartością bezwzględną, do czego nie mam w tej chwili głowy. Ale trzeba przypuszczać, że jeśli w funkcji jest wartość bezwzględna, to najprawdopodobniej funkcja ta nie jest różnowartościowa. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 09:56 
Administrator

Posty: 21361
Lokalizacja: Wrocław
Dilectus napisał(a):
Ale trzeba przypuszczać, że jeśli w funkcji jest wartość bezwzględna, to najprawdopodobniej funkcja ta nie jest różnowartościowa. :)

Tak? A funkcja f:\RR\to\RR,\ f(x)=2x+|x| ?

Dilectus napisał(a):
Wykres funkcji parzystej jest przecież symetryczny wzgl. osi OY, a jeśli tak, to musi istnieć jeden igrek odpowiadający co najmniej dwóm iksom, co dowodzi, że funkcja parzysta nie może być różnowartościowa.

To prawie prawda... Ale trzeba dodać założenie, że dziedzina takiej funkcji ma przynajmniej dwa elementy.

Dilectus napisał(a):
Cytuj:
Udowodnij z definicji, że nie jest ona nieparzysta.


f(-x)= \frac{\left| -x-1\right| }{-x-1} (x^{2} - 4)=\frac{\left| -1\right|\left( x+1\right)  }{-(x+1)} ((-x)^{2} - 4)=- \left( x^{2} - 4\right)

zaś

f(x) = \frac{\left| x-1\right| }{x-1} (x^{2} - 4)= \begin{cases} \frac{ x-1 }{x-1} (x^{2} - 4)= x^{2} - 4 \ \hbox{dla} \ x-1 \ge 0, \ \hbox{czyli \ dla} \ x > 1 (...) \\ \frac{\left-(  x-1\right)  }{x-1} (x^{2} - 4)= -\left( x^{2} - 4\right) \ \hbox{dla} \ x-1 < 0, \ \hbox{czyli \ dla} \ x < 1  \end{cases}

co pokazuje, że f(-x) \neq f(x), a więc funkcja nie jest parzysta.

Dowód, że funkcja nie jest parzysta bądź nie jest nieparzysta polega na wskazaniu jednego konkretnego argumentu x, dla którego f(x)\neq f(-x) bądź f(x)\neq -f(-x).

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 10:03 
Użytkownik

Posty: 2043
Lokalizacja: Warszawa
Janku, napisałem przecież:
Cytuj:
trzeba przypuszczać [...] że funkcja ta nie jest różnowartościowa.


"Przypuszczać", nie znaczy "twierdzić". :)

Cytuj:
To prawie prawda... Ale trzeba dodać założenie, że dziedzina takiej funkcji ma przynajmniej dwa elementy.


Racja! :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 10:07 
Administrator

Posty: 21361
Lokalizacja: Wrocław
No to już wiesz, że z przypuszczaniem trzeba uważać.

Ważniejsza jest jednak uwaga o sposobie udowadniania braku parzystości/nieparzystości.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl