szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 20:17 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: sandomierz
siemka. Mam problem z takim oto zadaniem ;/ męczę się nad nim już od ponad 30 minut. Może ktoś mi pomoże ? :D
Wykaż, że kwadrat iloczynu trzech kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 36.
Z góry dzięki za pomoc ! :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 20:20 
Administrator

Posty: 21232
Lokalizacja: Wrocław
30 minut? Krótko...

Wskazówka: ...|a \Rightarrow 36|a^2

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 20:25 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: sandomierz
dalej nie rozumiem ;/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 20:27 
Administrator

Posty: 21232
Lokalizacja: Wrocław
Co wystarczy wiedzieć o podzielności liczby, by jej kwadrat był podzielny przez 36?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 20:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10614
Lokalizacja: Wrocław
Proponuję Ci ćwiczenie z indukcji, które, dzięki podstawieniu do tezy k=3 i skorzystaniu ze wskazówki Pana Kraszewskiego, da Ci rozwiązanie.
Wykaż, że dla każdego m \in \NN, m>k (oczywiście również k naturalne),iloczyn m kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez k! W sumie zamiast tego twierdzenia pomocniczego starczyłoby rozpisanie możliwych reszt z dzielenia przez 3 i 2 trzech kolejnych liczb naturalnych, co też możesz wykonać, ale tak śmieszniej.
BTW To coś a la matura 2011, to pokazuje poziom tego egzaminu.
BTW 2 36=6 ^{2}, nie każdy realizuje się w takich rachunkach, więc to podam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 20:36 
Administrator

Posty: 21232
Lokalizacja: Wrocław
Premislav napisał(a):
Proponuję Ci ćwiczenie z indukcji, które, dzięki podstawieniu do tezy k=3 i skorzystaniu ze wskazówki Pana Kraszewskiego, da Ci rozwiązanie.
Wykaż, że dla każdego m \in \NN, m>k (oczywiście również k naturalne),iloczyn m kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez k! W sumie zamiast tego twierdzenia pomocniczego starczyłoby rozpisanie możliwych reszt z dzielenia przez 3 i 2 trzech kolejnych liczb naturalnych, co też możesz wykonać, ale tak śmieszniej.

Naprawdę myślisz, że to pomoże?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 20:40 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: sandomierz
wiem że liczba : n  \cdot   \left( n+1 \right)   \cdot   \left( n+2 \right) powinna być podzielna przez 6.Więc musi być podzielna przez 2 i przez 3. Wymnażając to jest: n^3+3n^2+2
Ale to dalej mi nic nie mówi ;/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 20:56 
Użytkownik

Posty: 279
Lokalizacja: Polska
Masz iloczyn kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych, sam doszedłeś do wniosku że iloczyn 3 kolejnych liczb jest podzielny przez 6, więc kwadrat tej liczby.... dalej myślę że już zauważysz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: sandomierz
Napisałem, że liczba:n  \cdot   \left( n+1 \right)   \cdot   \left( n+2 \right) powinna być podzielna przez 6 a żeby liczba była podzielna przez 6, to musi się dzielić przez 3 i przez 2.
To jednak nie jest dowodem/rozwiązaniem na to zagadnienie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 21:09 
Użytkownik

Posty: 279
Lokalizacja: Polska
Ale Twoja liczba to:
[n \cdot \left( n+1 \right) \cdot \left( n+2 \right)]^2

Więc jeśli n \cdot \left( n+1 \right) \cdot \left( n+2 \right) dzieli się przez 6 to:
[n \cdot \left( n+1 \right) \cdot \left( n+2 \right)]^2 dzieli się przez...?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 21:10 
Użytkownik

Posty: 1001
Lokalizacja: Polska
Jeśli 5 \left| a, to zachodzi implikacja 25 \left| a^2. Podobnie u ciebie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 21:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10614
Lokalizacja: Wrocław
Jan Kraszewski, napisałem ostrą nierówność zamiast nieostrej, istotnie, moje przeoczenie. Jeśli nie o to Panu chodziło, to zapytam...
Czy czasem indukcji nie uczą w szkołach? Czytałem, że wróciła do programu. Nie widzę więc, czemu to nie miałoby pomóc, a to, że to więcej niż potrzeba, to niekoniecznie źle; im ogólniejszą własność pokazujemy, tym fajniej (bo można ją wówczas zwykle wykorzystać w szersze klasie podobnych rozumowań, zamiast szamotać się z jakimiś szczególnymi przypadkami), chyba że goni nas czas (np. jesteśmy na egzaminie).
W razie problemów z dowodem indukcyjnym napisanej przeze mnie tezy pomógłbym.

konrad16, jeśli umiesz uzasadnić jakoś tę podzielność przez 6, to super; skoro iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych się dzieli przez 6, to dla każdego takiego iloczynu istnieje takie k naturalne, że ten iloczyn jest równy 6k. Czemu więc jest równy kwadrat tegoż iloczynu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 21:19 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: sandomierz
ok chyba doszedłem do sedna sprawy. Więc jeżeli kwadrat iloczynu trzech kolejnych liczb naturalnych [n  \cdot  (n+1)  \cdot  (n+2)]^2 dzieli się przez 36, to sam iloczyn [n  \cdot  (n+1)  \cdot  (n+2)] dzieli się przez pierwiastek z 36 = 6
Każda liczba jest podzielna przez 6 jeżeli dzieli się przez 3 i przez 2.
W tym wyrażeniu mamy 3 czynniki i jakąkolwiek liczbę naturalną nie podstawimy pod n, to któryś z tych czynników będzie podzielny przez 2 (parzysty) i któryś przez 3.
Temat raczej do zamknięcia ;)
Dzięki za pomoc :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 21:56 
Administrator

Posty: 21232
Lokalizacja: Wrocław
Premislav napisał(a):
Jan Kraszewski, napisałem ostrą nierówność zamiast nieostrej, istotnie, moje przeoczenie. Jeśli nie o to Panu chodziło, to zapytam...

Wg mnie przestrzeliłeś z poziomem podpowiedzi.

Premislav napisał(a):
Czy czasem indukcji nie uczą w szkołach? Czytałem, że wróciła do programu. Nie widzę więc, czemu to nie miałoby pomóc, a to, że to więcej niż potrzeba, to niekoniecznie źle; im ogólniejszą własność pokazujemy, tym fajniej (bo można ją wówczas zwykle wykorzystać w szersze klasie podobnych rozumowań, zamiast szamotać się z jakimiś szczególnymi przypadkami), chyba że goni nas czas (np. jesteśmy na egzaminie).

Nie, indukcji nie uczą w szkołach (systemowo, bo oczywiście są szkoły, w których uczą).

Nie jest sztuką dać podpowiedź. Sztuką jest dać podpowiedź, która ma szansę być zrozumiana.

konrad16 napisał(a):
ok chyba doszedłem do sedna sprawy. Więc jeżeli kwadrat iloczynu trzech kolejnych liczb naturalnych [n  \cdot  (n+1)  \cdot  (n+2)]^2 dzieli się przez 36, to sam iloczyn [n  \cdot  (n+1)  \cdot  (n+2)] dzieli się przez pierwiastek z 36 = 6

Istotnie, doszedłeś, tylko źle to wyraziłeś. Nie chodzi o to, że podzielność kwadratu iloczynu przez 36 pociąga podzielność iloczynu przez 6, tylko odwrotnie - podzielność iloczynu przez 6 pociąga podzielność kwadratu iloczynu przez 36.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2014, o 23:03 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Premislav napisał(a):
Proponuję Ci ćwiczenie z indukcji [...]
Wykaż, że dla każdego m \in \NN, m>k (oczywiście również k naturalne),iloczyn m kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez k!
Poza tym udowodnienie tego indukcyjnie bez jakiegoś solidnego wzmocnienia tezy, jest raczej trudnym zadaniem. Jak miałby niby wyglądać krok indukcyjny?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Wykaż, że liczba jest podzielna przez 33  Anonymous  2
 Różnica cyfr pewnej liczby wynosi 5 ... Znajdź tę liczb  Tomasz B  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl