szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2014, o 16:17 
Użytkownik

Posty: 1001
Lokalizacja: Polska
Uzasadnij, że jeśli dodatnia liczba całkowita n dzieli a-b, to zachodzi n^2|a^n-b^n.
Sprowadza się do wykazania, że n|a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}, ale jak to wykazać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2014, o 16:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10588
Lokalizacja: Wrocław
a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}=(a-b) ^{n-1}+na ^{n-2}b-\left({n-1\choose 2}-1\right)a ^{n-3}b ^{2}+ \left({n-1\choose 3}+1\right)a ^{n-4}b ^{3}...
i tak dalej.
Starczy Ci zatem do wykończenia tego następujący lemat: n dzieli {n-1\choose k}+(-1)^{k+1}. Wskazówki: indukcja po k przy ustalonym n+tożsamość {n-1\choose k}+{n-1\choose k-1}={n \choose k} i fakt że n | {n \choose k}
PS Pewnie to rozwiązanie jest potwornie brzydkie, ale raczej trzeba się urodzić do zauważania ładnych rozwiązań, a nie zaznaczyłeś, że tylko takowe Cię interesują. :>
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2014, o 16:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Skoro a \equiv b\pmod{n} to a^{n-1}+a^{n-2}b+..+b^{n-1} \equiv a^{n-1}+a^{n-1}+...+a^{n-1} \equiv na^{n-1} \equiv 0\pmod{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2014, o 17:04 
Użytkownik

Posty: 1001
Lokalizacja: Polska
Premislav, oh, te rozwiązanie to chyba przejrzę dopiero jutro, bo mój umysł jest już tak dzisiaj zmęczony, że chyba tego nie ogarnę :D.

Vax, właśnie myślałem o czymś podobnym, tylko nie w postaci kongruencji a słownie - żeby wykazać, że wszystkie n składników tej sumy dają tę samą resztę przy dzieleniu przez n. I po raz kolejny wiedza o kongruencjach może okazać się przydatna! Serdecznie dziękuję :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód podzielności - zadanie 21  duszan1  1
 dowód z NWD  darek111  1
 Dowód pewnej własności - zadanie 3  nowik1991  6
 Dowód na to, ze kazda liczba pierwsza to 6k+1 lub 6k-1  RzeqA  5
 liczba podzielna przez 19-dowód  ala1609  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl