szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 paź 2014, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 162
Lokalizacja: Kraków
Chciałabym prosić o sprawdzenie rozwiązanych przeze mnie dwóch zadań dotyczących rozwiązywania równań diofantycznych przy pomocy algorytmu Euklidesa.

zad.1.
1001x+35y=49 \\
NWD(1001,35)=7 i 7dzieli 49, więc równanie ma rozwiązanie.
1001=28 \cdot 35+21 \\
35=1 \cdot 21+14 \\
21=1 \cdot 14+7 \\
14=2 \cdot 7+0 \\

7=21-(1 \cdot 14)=21-(35-1 \cdot 21)=-35+2 \cdot 21=-35+2(1001-28 \cdot 35)=2 \cdot 1001-57 \cdot 35 \\
x_{0} = 2  \\
y_{0} =-57
rozwiązanie szczególne
1001x+35y=0 / :7 \\
143x+5y=0 \\
143x=-5y \\
x=5t  \\
y=-143t , t \in C
Ostateczne rozwiązanie ogólne:
x= 2+5t \\
y=-57-143t , t \in C

zad.2
7x-11y=41  \\
NWD(7,11)=1 i 1 dzieli 41, więc równanie ma rozwiązanie.
11=1 \cdot 7+4 \\
7=1 \cdot 4+3 \\
4=1 \cdot 3+1  \\
3=3 \cdot 1+0  \\

1=4-3 \cdot 1=4-(7-4 \cdot 1)=-7+2 \cdot 4=-7+2 \cdot (11-1 \cdot 7)=-15 \cdot 7+2 \cdot 11  \\
x_{0} = 2 \\
y_{0} = -15
rozwiązanie szczególne
7x-11y=0 \\
7x=11y \\
x= -5t y=-11t , t \in C
Ostateczne rozwiązanie ogólne:
x=2-5t \\
 y=-15-11t, t \in C
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2014, o 21:30 
Użytkownik

Posty: 2027
Lokalizacja: Warszawa
Daj tagi tex w odpowiednich miejscach, bo Twój problem wyląduje w koszu... :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 paź 2014, o 21:39 
Użytkownik

Posty: 162
Lokalizacja: Kraków
Przepraszam, ale jest to mój pierwszy post i za bardzo się jeszcze nie odnajduję na tym forum. Czyli co mam zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2014, o 21:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10588
Lokalizacja: Wrocław
latex.htm
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 16:40 
Użytkownik

Posty: 162
Lokalizacja: Kraków
Czy teraz jest to dobrze zapisane?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 18:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10588
Lokalizacja: Wrocław
Teraz jest przyzwoicie zapisane.
Obawiam się, że w zadaniu pierwszym wkradł się błąd: połóżmy w otrzymanym przez Ciebie rozwiązaniu ogólnym t=1. Wówczas będzie x=7 \wedge y=-200. Ale 1001\cdot7-35\cdot200=7\neq 49. Teraz tak patrzę, że dla t=0 również jest klops. Gdybyś podzieliła stronami przez \NWD(35,1001) przed zabraniem się za algorytm Euklidesa, zapewne uniknęłabyś tego problemu.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 19:44 
Użytkownik

Posty: 162
Lokalizacja: Kraków
Podzieliłam przez 7 równanie i zastosowałam algorytm Euklidesa i dalej jest zły wynik... Już sama nie wiem. Zadanie 2 też jest chyba źle. Czy ktoś wie jak rozwiązać poprawnie te zadania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 20:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10588
Lokalizacja: Wrocław
No to dzielę przez 7 stronami (właściwie nie jest to niezbędne, ale mniejsze liczby, to trudniej o pomyłkę). Dostaję
143x+5y=7.
Wykonuję algorytm Euklidesa dla 5 i 143:
143=28\cdot 5+3\\
5=1\cdot 3+2\\
3=1\cdot 2+1
i już dalej można nie wykonywać, bo widać, że w następnym kroku będzie 0.
Jest: 1=3-2=143-28\cdot 5-(5-3)=-57\cdot 5+2\cdot 143. A zatem 7=7\cdot(-57\cdot 5+2\cdot 143). P prostu poprzednią równość pomnożyłem stronami przez 7. Zatem x=2\cdot 7=14, y=-57\cdot 7=-399 tworzą rozwiązanie szczególne. Wolfram potwierdza.
To teraz wyznacz rozwiązanie ogólne, podpowiem, że dobrze się do tego zabierałaś.
A drugie jakoś analogicznie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 21:07 
Użytkownik

Posty: 162
Lokalizacja: Kraków
Czyli w pierwszym rozwiązanie ogólne to:

x=14-5t \\
y=-399+143t
tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 21:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10588
Lokalizacja: Wrocław
W istocie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 21:36 
Użytkownik

Posty: 162
Lokalizacja: Kraków
Ok, dziękuję bardzo za pomoc.
A jak będzie z drugim? Czy tak będzie wyglądało rozwiązanie szczególne?
-11=-1 \cdot 7+4 \\
7=1 \cdot 4+3 \\
4=1 \cdot 3+1 \\
3=3 \cdot 1+0

1=4-(1 \cdot 3)=4-(7-1 \cdot 4)=-7+2 \cdot 4=-7+2 \cdot (-11-1 \cdot 7)=-11 \cdot 2+3 \cdot 7 \\
41(-11 \cdot 2+3 \cdot 7)=41 \\
-11 \cdot 82+123 \cdot 7=41

x_{0} = 123 \\
y_{0} = 82
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 21:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10588
Lokalizacja: Wrocław
Gdy wstawiłem, to tak na oko nie wyszło, gdzieś tu czai się błąd obliczeniowy.
Natomiast wolfram powiedział mi, że -82 i -123 byłyby dobre. Spójrzmy...
Cytuj:
1=4-(1 \cdot 3)=4-(7-1 \cdot 4)=-7+2 \cdot 4=-7+2 \cdot (-11-1 \cdot 7)=-11 \cdot 2+3 \cdot 7
Jak się przyjrzeć, to tu napisałaś, że 1=-1, łatwo o takie błędy obliczeniowe. Ale ideowo OK.
Błąd jest w przedostatnim przejściu, zamiast 4 rozpisywałaś -4 (albo coś w tym stylu).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 22:13 
Użytkownik

Posty: 162
Lokalizacja: Kraków
Kurcze, a nie powinno być -123 i 82 ?

-- 15 paź 2014, o 22:15 --

Aa nie. Już wiem gdzie popełniłam błąd. Bardzo dziękuję za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 22:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10588
Lokalizacja: Wrocław
Na pewno nie, bo patrząc na Twoje początkowe równanie, widzimy, że otrzymalibyśmy liczbę ujemną, a 41 taką nie jest.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równania diofantyczne - zadanie 2  krolik  1
 Równania diofantyczne - zadanie 3  Embla  3
 Równania diofantyczne - zadanie 4  tatteredspire  0
 Równania diofantyczne - zadanie 5  monn933  5
 Równania diofantyczne - zadanie 7  tdave  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl