szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 10:13 
Użytkownik

Posty: 74
Lokalizacja: Zielonka
Udowodnij, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych a, b oraz dla dowolnej liczby naturalnej n  \ge  1 zachodzi nierówność:
(a+b)^{n}  \le  2^{n-1}  ( a^{n} + b^{n} )
Najlepiej indukcyjnie, ale niekoniecznie. Będę wdzięczna za pomoc :)
Góra
PostNapisane: 15 paź 2014, o 10:21 
Użytkownik
No to działaj, pierwszy krok indukcyjny
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 10:30 
Użytkownik

Posty: 74
Lokalizacja: Zielonka
Nie wiem jak to zrobić dlatego proszę o pomoc
Góra
PostNapisane: 15 paź 2014, o 10:32 
Użytkownik
pierwszy krok indukcyjny jak wyglada?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 10:35 
Użytkownik

Posty: 74
Lokalizacja: Zielonka
No bazę dla n=1 trzeba sprawdzić i to jest ok
Góra
PostNapisane: 15 paź 2014, o 10:36 
Użytkownik
No widzisz. to teraz założenie indukcyjne i tezę zapisz
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 10:43 
Użytkownik

Posty: 74
Lokalizacja: Zielonka
No dobrze tyle mam. Dochodzę do tego że aby udowodnić nierówność wystarczy udowodnić, że:
2 ^{n} ( a ^{n+1} + b ^{n+1} ) \ge  2 ^{n-1}  ( a ^{n} + b ^{n} )(a+b)

-- 15 paź 2014, o 11:53 --

Dobra udało mi się samej. Okazało się że zrobiłam błąd we wcześniejszym rozumowaniu :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 13:34 
Użytkownik

Posty: 1289
To jest oczywiście Hoelder, a skoro tak, to i AM-GM.

\left(a^n+b^n\right)\cdot\overbrace{(1+1)\cdot ...\cdot (1+1)}^{n-1}\ge \left(\sqrt[n]{a^n\cdot 1^{n-1}}+\sqrt[n]{b^n\cdot 1^{n-1}}\right)^n

n=\sum\left(\frac{a^n}{a^n+b^n}+(n-1)\cdot\frac{1}{2}\right)\ge n\sum\sqrt[n]{\frac{a^n}{2^{n-1}\left(a^n+b^n\right)}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2014, o 16:57 
Użytkownik

Posty: 2224
Lokalizacja: Warszawa
\left( a+b\right)^n \le 2^{n-1}\left( a^n+b^n\right)  \Leftrightarrow \left(  \frac{a+b}{2} \right)^n \le  \frac{a^n+b^n}{2} , co oczywiście wynika z wypukłości funkcji x^n dla x \ge 0 i n \ge 1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 dowód indukcyjny - zadanie 3  garf99  1
 dowód indukcyjny - zadanie 17  Geniusz  0
 Dowód indukcyjny - zadanie 44  rydzyk00  1
 Dowód indukcyjny - zadanie 28  kenser  4
 Dowód indukcyjny - zadanie 52  ana1994  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl