szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2014, o 20:53 
Użytkownik

Posty: 276
Witam
Proszę o rozwiązanie nierówności z wytłumaczeniem. Poniżej mój tok myślenia

\frac{2}{|x-4|}  \ge  \frac{1}{|2x+8|}

Dziedzina : R  \setminus \left\{ -4, 4\right\}
Mianowniki są dodatnie więc mnożę i otrzymuję :

|4x + 16|  \ge  |x-4|
Cytuj:
" Jeśli a > 0, to |x|  \ge a  \Leftrightarrow  x  \le  - a lub x  \ge  a "


Stąd :

4x + 16  \ge  x-4 lub 4x + 16  \le  4 - x


Jednak aby wyszło zgodnie z rozwiązaniem, te dwie powyższe równości musiałyby mieć zamienione znaki :
4x + 16   \le   x-4 lub 4x + 16   \ge   4 - x

Proszę o pomoc i z góry dzięki serdecznie pozdrawiam ! :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2014, o 21:00 
Użytkownik

Posty: 22686
Lokalizacja: piaski
Rozpatrz przypadki w zależności od znaków zawartości modułów.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 paź 2014, o 21:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
Spróbuj rozpatrzyć trzy przedziały z uwagi na to, że masz dwa wyrażenia z wartością bezwzględną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2014, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 276
Proszę o rozwiązanie z wytłumaczeniem ;)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 paź 2014, o 21:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
Przedzikałów szukasz w ten sposób:

4x+16 \ge 0  \Leftrightarrow x \ge -4
x-4  \ge 0  \Leftrightarrow x \ge 4

Pierwszy przedział: oba moduły dodatnie czyli x \in [4, \infty)

Drugi przedział: pierwszy moduł dodatni, drugi ujemny czyli x \in [-4, 4)

Trzeci przedział: oba moduły ujemny czyli x \in (-\infty, -4).

Połącz te założenia z nierównościami. Rozwiązanie będzie sumą trzech przedziałów z każdego przypadku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2014, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 276
Czyli mogę to zrobić w ten sposób :
|4x + 16 | oznaczmy jako w (x)
|x-4|oznaczmy jako u(x)

i rozpatrzam cztery przypadki :
szukamy i obliczamy x dla :
w(x) > 0 u(x) >0
w(x) >0 u(x)<0
w(x) < 0 u(x) > 0
w(x) < 0 u(x) < 0

i jeśli któryś z tych wielomianów jest mniejższy niż zero to w tym przypadku przy obliczaniu zmieniamy mu znaki ?

Nie rozumiem skąd się wzięło to :

Cytuj:
Przedzikałów szukasz w ten sposób:

4x+16 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -4
x-4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 paź 2014, o 21:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4415
Lokalizacja: Łódź
Strasznie to skomplikowałaś. Patrzysz, kiedy wyrażenia pod modułami się zerują. Dostajesz dwie liczby: -4 i 4. Zaznaczasz te liczby na osi (weź je w "kółka" , bo one nie należą do dziedziny) i one dzielą oś na trzy przedziały. Rozwiązuj w tych trzech przedziałach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2014, o 22:09 
Użytkownik

Posty: 276
Okej, i po zaznaczeniu rozwiązujemy dla
x > 4 ( wszystko bez zmienionych znaków)
-4 < x < 4 - wyrażeniex - 4zmienia znaki i będzie 4 -x
x < - 4 - pierwsze wyrażenie zmienia znak i będzie - 4x - 16

coś takiego ?
Czy to co napisałem we wcześniejszym poście było prawidłowe ale niepotrzebne czy nieprawidłowe ? Bo zrobiłem tak " po swojemu " i odpowiedź wyszła prawidłowa.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 paź 2014, o 23:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4415
Lokalizacja: Łódź
asign123 napisał(a):
x < - 4 - pierwsze wyrażenie zmienia znak i będzie - 4x - 16
...
Czy to co napisałem we wcześniejszym poście było prawidłowe ale niepotrzebne czy nieprawidłowe ? Bo zrobiłem tak " po swojemu " i odpowiedź wyszła prawidłowa.


Dla x<-4 oba wyrażenia zmieniają znak.

To co w pierwszym poście, to powinno być zgodne z \left| a\right| \ge \left| b\right|  \Leftrightarrow \left( a \le -\left| b\right| \right)  \vee \left( a \ge \left| b\right| \right).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiaz nierownosc  jackass  3
 Równanie wymierne i nierówność  Monster  2
 Wykres funkcji z wartością bezwzględną. - zadanie 2  judge00  2
 Rozwiąż nierówność - funkcja homograficzna  judge00  2
 równanie wymierne z wartością bezwzględną  judge00  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl