szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 paź 2014, o 19:14 
Użytkownik

Posty: 14
Na półce stoi n książek w porządku alfabetycznym według nazwisk. Na ile sposobów można poprzestawiać książki tak, aby żadna nie stała na swoim poprzednim miejscu?

Proszę o jakieś wskazówki, bo nie wiem nawet, jak się za to zadanie zabrać.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 paź 2014, o 19:18 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Masz n miejsc na ksiązki. Bierzesz pierwszą książke i masz n-1 możliwości jej rożłożenia (wypada ta mozliwosc gdzie ksiazka stala przed chwila)... jak myslisz, co dalej? :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 paź 2014, o 19:26 
Użytkownik

Posty: 14
Załóżmy, że jest tak, jak piszesz, czyli wynik to teoretycznie (n-1)(n-2)(n-3)... A jeśli poukładam książki tak, że dla ostatniej zostanie tylko to miejsce, na którym ona stała?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 paź 2014, o 19:29 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
To niemożliwe. Każda poprzednia książka zajmie inne miejscie niż poprzednio stąd któraś z tych książek zajmie miejscie tej ostatniej gdzie stała ostatnio
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 paź 2014, o 19:31 
Użytkownik

Posty: 14
Nie zawsze. Weź na przykład 5 książek i zamień miejscami 1 z 2 oraz 4 z 5. Trzecia stoi na swoim miejscu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 paź 2014, o 20:03 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
gotowiec
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 paź 2014, o 20:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
nie doceniłem problemu ;)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 paź 2014, o 21:03 
Użytkownik

Posty: 14
Dziękuję za gotowca :) wpadłam już na to wcześniej i jestem w trakcie rozwiązywania, ale miło, że potwierdza się moje rozumowanie i że nie idę w las :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2014, o 23:06 
Użytkownik

Posty: 1471
Lokalizacja: Trójmiasto
Można tu zastosować metodę włączania i wyłączania:
Wszystkich ustawień książek jest n!
Ustawień, gdzie co najmniej jedna ksiązka jest na swoim miejscu a reszta nie jest dokładnie {n \choose 1}(n-1)! (wybieramy która ksiązka ma stać na swoim miejscu i permutujemy resztę)
Ustawień, gdzie co najmniej dwie książki swoją na swoim miejscu jest {n \choose 2}(n-2)! bo wybieramy 2 książki z n na ich miejsca a resztę permutujemy itd.
I teraz od wszystkich ustawień musimy odjąć te, gdzie co najmniej jedna jest na swoim miejscu, potem musimy dodać wszystkie, gdzie 2 są na swoich miejscach (bo te przekroje odjęliśmy dwa razy odejmując pojedyncze), następnie odejmujemy te, gdzie trzy są na swoich miejsach itd., otrzymamy:
\sum_{i=0}^{n} (-1)^i {n \choose i} (n-1)!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ustawienia książek na półce  Kris-0  7
 rozstawianie książek.  tukanik  1
 możliwość ułożenia ksiazek w pudelkach...  karcia_897  1
 Ilość sposobów ułożenia ksiażek  kowalski93  3
 Ilosc sposobow rozmieszczenia ksiazek  smutnomiboze  1
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl