szukanie zaawansowane
 [ Posty: 29 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 10:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
Znaleźć największą wartość iloczynu czterech dodatnich liczb, których suma wynosi 4.

Rozwiązuję:
a+b+c+d=4 \Rightarrow d=4-a-b-c - wiadomo po co. Konstruuję funkcję
f(a,b,c)=abc(4-a-b-c)
Policzyłem pochodne cząstkowe po każdej z tych współrzędnych. Maksimum można się spodziewać w punktach, w których wszystkie się zerują.
Pochodna po a zeruje się w punktach o postaciach:
P_{a1}=(a,0,c) \\ P_{a2}=(a,b,0) \\ P_{a3}=(a,b,4-2a-b)
Pochodna po b w punktach:
P_{b1}=(0,b,c) \\ P_{b2}=(a,b,0) \\ P_{b3}=(a,b,4-a-2b)
Pochodna po c w punktach:
P_{c1}=(0,b,c) \\ P_{c1}=(a,0,c) \\ P_{c1}=\left( a,b, \frac{1}{2}\left( 4-a-b\right)  \right)
No i muszę znaleźć punkty, w których wszystkie pochodne naraz są zerem. To wtedy jeśli każdy taki zbiór punktów, np. P_{a1} opiszemy tak: P_{a1}=\left\{ (a,0,c): a \in \RR, c \in \RR \right\}, to mam szukać części wspólnych wszystkich kombinacji tych 9 zbiorów? Czyli mam wyznaczyć 27 punktów, w których możliwe jest maksimum (pomijając fakt, że np. P_{a2}=P_{b2})?!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 10:56 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Po pierwsze - natychmiastowe rozwiązanie wynika z zastosowania nierówności między średnimi:
\frac{a+b+c+d}{4}\ge \sqrt[4]{abcd}

Po drugie - Twój zapis jest mocno dziwny, bo chwilami a,b,c są zmiennymi, a chwilami wydają się pełnić rolę parametrów.

Po trzecie - rozpatrujemy funkcję na zbiorze 0\le a,b,c\ ; \ a+b+c \le 4, więc wystarczy zauważyć, że na brzegu tego zbioru funkcja się zeruje. W połączeniu z tym, że widać gołym okiem, że czasem przyjmuje też wartości dodatnie - wystarczy zbadać funkcję wewnątrz zbioru, czyli tam, gdzie żadna zmienna nie jest zerem. Trzeba więc mamy do rozwiązania łatwy układ równań:
\begin{cases}
4-2a-b-c=0\\
4-a-2b-c=0\\
4-a-b-2c=0
\end{cases}
którego rozwiązaniem jest oczywiście (1,1,1) i z tw. Weierstrassa otrzymujemy, że w tym punkcie funkcja przyjmuje największą wartość.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 13:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
Qń napisał(a):
Po pierwsze - natychmiastowe rozwiązanie wynika z zastosowania nierówności między średnimi:
\frac{a+b+c+d}{4}\ge \sqrt[4]{abcd}

Nie widzę tego :/

Qń napisał(a):
Po drugie - Twój zapis jest mocno dziwny, bo chwilami a,b,c są zmiennymi, a chwilami wydają się pełnić rolę parametrów.

No tak, np. w równaniu f_a=0 któreś dwie zmienne muszą być parametrami.

Qń napisał(a):
Po trzecie - rozpatrujemy funkcję na zbiorze 0\le a,b,c\ ; \ a+b+c \le 4, więc wystarczy zauważyć, że na brzegu tego zbioru funkcja się zeruje. W połączeniu z tym, że widać gołym okiem, że czasem przyjmuje też wartości dodatnie - wystarczy zbadać funkcję wewnątrz zbioru, czyli tam, gdzie żadna zmienna nie jest zerem. Trzeba więc mamy do rozwiązania łatwy układ równań:
\begin{cases}
4-2a-b-c=0\\
4-a-2b-c=0\\
4-a-b-2c=0
\end{cases}
którego rozwiązaniem jest oczywiście (1,1,1) i z tw. Weierstrassa otrzymujemy, że w tym punkcie funkcja przyjmuje największą wartość.
Q.

Rozumiem, że samo znalezienie punktu oznacza możliwość istnienia w nim maksimum, a fakt, że ten punkt jest tylko jeden, w połączeniu z twierdzeniem Weierstrassa, daje nam, że na pewno jest tu maksimum?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 31 paź 2014, o 13:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1582
Lokalizacja: Polska
\frac{a+b+c+d}{4}\ge \sqrt[4]{abcd} \wedge a+b+c+d=4
1\ge \sqrt[4]{abcd} \Rightarrow 1 \ge abcd \Rightarrow max(abcd)=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 13:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
Igor V napisał(a):
1 \ge abcd \Rightarrow max(abcd)=1

Jak to? A dlaczego nie tak:
1 \ge abcd, 4 \ge 1 \\
4 \ge abcd \\
max(abcd)=4
?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 31 paź 2014, o 13:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1582
Lokalizacja: Polska
Bo jedynka ogranicz z góry iloczyn tych liczb ,każda wartość tego iloczynu jest mniejsza lub równa od 1 ,więc największa wartość jest równa 1

-- 31 paź 2014, o 14:34 --

Chyba że walnąłem jakiegoś wyjątkowo głupiego blefa ,ale dla mnie jest ok.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 13:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
Nie rozumiem. Przecież gdyby napisać to samo, co ty, tylko zamiast "jedynka" napisać "3", "4" albo "e", to wciąż będzie to prawdą (do "więc").
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 31 paź 2014, o 13:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1582
Lokalizacja: Polska
Jak prawdą ? Ta jedynka wyszła z średniej arytmetycznej ,bo sumę liczb mamy podaną.Szukamy maksymalnej wartości funkcji f(a,b,c,d)=abcd , przy warunku a+b+c+d=4.Z nierówności między średnimi , mamy wprost że
\frac{4}{4}\ge \sqrt[4]{abcd}
Obie strony są nieujemne więc podnosimy do czwartej potęgi i mamy to co napisałem.Czyli że :
1 \ge abcd , czyli wartości tego iloczynu są na pewno mniejsze lub równe od jedynki.A więc maksymalna wartość musi być jeden ,bo nierówność jest nieostra.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 13:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
A z przechodniości relacji "\ge" wynika:
musialmi napisał(a):
1 \ge abcd, 4 \ge 1 \\
4 \ge abcd \\
max(abcd)=4
?


Na pewno trzeba jeszcze uwzględnić, dodać coś jeszcze, bo przecież to, co cytuję, ma być bzdurą.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 31 paź 2014, o 14:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1582
Lokalizacja: Polska
No jest relacją przechodnią ,ale jak się ma ta czwórka do tego iloczynu ,skąd ją przy nim wziąłeś ? Przecież suma jest równa 4 ,a o iloczyn dopiero trzeba ograniczyć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 14:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
Wziąłem ją, bo mogę; tak samo, jak mogę wziąć inną liczbę większą od 1, bo każda z nich też jest ograniczeniem. Nierówność jest spełniona, ale o maksimum nie można jeszcze nic powiedzieć. -x^2 \le 50, ale 50 nie jest maksimum. To jest po prostu zbyt pochopny wniosek, jak dla mnie.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 31 paź 2014, o 14:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1582
Lokalizacja: Polska
Widzę o co Ci już chodzi ,więc powiem inaczej.To jest najmniejsza liczba ograniczająca ten iloczyn z góry.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 14:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
To na pewno prawda, ale skąd to wiadomo?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 14:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10829
Lokalizacja: Wrocław
Igor V, wypadałoby jeszcze (choć to trywialne) pokazać, że pewna czwórka (a,b,c,d) realizuje taką wartość iloczynu. W nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną oczywiście równość jest dla równych argumentów, ale mogłoby się zdarzyć tak, że gdy są one równe, to taki punkt (a,b,c,d) nie należy do zbioru, do którego ograniczamy badanie ekstremów (choć naturalnie tutaj tak nie jest).
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 31 paź 2014, o 14:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1582
Lokalizacja: Polska
Premislav, dobra uwaga ,dzięki.
musialmi, Bo takie jest założenie tych nierówności ,że jedna ogranicza ,poczytaj sobie jak się je wyprowadza i zobacz inne przykładowe zadania.Zresztą te najłatwiejsze są bardzo podobne do tego.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 29 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji  pangucio  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl