szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 12:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
Mam taką funkcję.

f(x)=\sqrt{x-1}\sqrt{3-x}

Mam wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę.

Dziedzina sprawa prosta. D_{f}=[1,3]

Natomiast pojawia się problem przy przeciwdziedzinie...
Przekształcam równanie funkcji, tak by otrzymać zmienną x w zależności od zmiennej y.

y^{2}=-x^{2}+4x-3   \Leftrightarrow y^{2}=-(x-2)^{2}+1  \Leftrightarrow x= \sqrt{1-y^{2}} +2

Teraz zrobiłam tak:
1 \le \sqrt{1-y^{2}}+2  \le 3
oraz dodatkowe założenie: 1-y^{2} \ge 0

-1  \le \sqrt{1-y^{2}}
I trochę mi się ta nierówność nie podoba.. chyba nie musze jej już dalej liczyć, bo widać, że jest ona prawdziwa dla wsyzstkich y. Bo pierwiastek drugiego stopnia jest zawsze dodatni. Czy moge tak wnisokować?

\sqrt{1-y^{2}} \le 1  \Leftrightarrow 1-y^{2} \le 1  \Leftrightarrow y^{2} \ge 0
Ta nierówność też jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych, więc podobnie jjak w pierwszej, nie otrzymuję z niej dodatkowego ograniczenia na zbiór wartości całej funkcji.

Jedyne co otrzymuję to: 1-y^{2} \ge 0 \Leftrightarrow y^{2} \le 1 \Leftrightarrow y \in [-1,1]

Teraz jeszcze wnioskowałabym, że wartości funkcji musza być większe bądź równe zero, bo sa pieriastkiem kwadratowym. Ostatecznie wydaje mi się, że: D_{f}^{-1}=[0,1]

Proszę o odpowiedź, czy moja metoda jest dobra.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 13:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4415
Lokalizacja: Łódź
Dobra. Można też policzyć pochodną i znaleźć maksimum, bo dolny kraniec to 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Najprościej jest zbadać trójmian kwadratowy (x-1)(3-x) w przedziale [1,3] - widać, że przyjmuje on tam wartości z przedziału [0,1]. Stąd pierwiastek z tego trójmianu (a tyle jest równa nasza funkcja dla x\in [1,3]) też przyjmuje wartości z przedziału [0,1].

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 13:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
A co w przypadku takiej funkcji?

Nie bardzo potrafię sobie z nią poradzić..

f(x)=\frac{1}{1-\tg^{2}x}

\tg^{2}x \neq 1  \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{4}+k\pi  \wedge x \neq \frac{3\pi}{4} +k\pi

k \in Z

Poza tym z definicji tangensa: x \neq \frac{\pi}{2} +k\pi

\tg x = \sqrt{\frac{y-1}{y}}

Ale jak wyznaczyć tą przeciwdziedzinę?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 13:58 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zauważ, że \tg^2x przyjmuje wszystkie wartości nieujemne i tylko takie. Stąd wystarczy zbadać jakie wartości przyjmuje funkcja \frac{1}{1-t} w przedziale [0,+\infty ). A to łatwo odczytać z wykresu.

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 14:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
Tak, \forall_{x\in R} : \tg^{2}x  \ge 0

Czyli \frac{y-1}{y} \ge 0  \Leftrightarrow \frac{1}{y} \le 1  \Leftrightarrow y^{2} \ge y  \Leftrightarrow y(y-1) \ge 0  \Leftrightarrow y \in (-\infty,0] \cup [1,\infty)

Czyli D_{f}^{-1}=(-\infty,0] \cup [1,\infty)

W porządku?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 15:43 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zero nie należy do zbioru wartości tej funkcji (przyjrzyj się uważnie swojemu rachunkowi), ale poza tym ok.

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 22:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
Dlaczego zero nie należy do zbioru wartości funkcji? Nie rozumiem...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 22:27 
Administrator

Posty: 22627
Lokalizacja: Wrocław
A dla jakiego argumentu wartość funkcji jest zero?

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 23:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
Jeszcze jeden z przykład, z którym mam problem.

f(x)=1+\sqrt{\log(x^{2}-1)}

pierwsze założenie na dziedzinę
x^{2}-1 >0  \Leftrightarrow x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)

drugie założenie na dziedzinę:
\log(x^{2}-1)  \ge 0 \Leftrightarrow \log(x^{2}-1) \ge \log 1  \Leftrightarrow x^{2}-1 \ge 1 

\Leftrightarrow x^{2} \ge 2 \Leftrightarrow x \in (-\infty,-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2},\infty)

Teraz łącza oba wychodzi mi suma przedziałów z drugiego założenia.
Wolfram jednak pokazuje mi coś innego..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 23:44 
Administrator

Posty: 22627
Lokalizacja: Wrocław
A cóż to Ci Wolfram pokazuje?

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 23:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f% ... E2-1%7D%7D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 23:50 
Administrator

Posty: 22627
Lokalizacja: Wrocław
Przecież on pokazuje dokładnie to samo, co Ty wyliczyłaś...

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 paź 2014, o 23:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
Ok. To już chyba oznaka mojego dzisiejszego zmęczenia :)

-- 31 paź 2014, o 22:54 --

A jeśli o przeciwdziedzinę, to wystarczy napisać, że y=1+\sqrt{\log(x^{2}-1)}  \Rightarrow y \ge 1

?

Czy muszę ponownie rozpisać ten wzór w zależności od zmiennej x?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 lis 2014, o 10:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4415
Lokalizacja: Łódź
Wystarczy y\ge 1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wyznaczenie dziedziny funkcji - zadanie 8  tomi140  1
 Wyznaczenie funkcji h^{-1}  dudi1217  3
 Wyznaczanie przeciwdziedziny funkcji  dawideo  3
 Wyznaczenie dziedziny i miejsca zerowego - zadanie 2  Pierog195  3
 Wyznaczanie przeciwdziedziny  winfast29  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl