szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lis 2014, o 21:14 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Ostróda
Iloraz długości dwóch boków trójkąta wynosi \frac{\ctg \alpha }{ (1-\ctg \alpha)\cos \alpha }, a kąt między tymi bokami ma miarę 180-\alpha (nie wiem jak napisać symbol stopnia). Wykaż, że jeden z pozostałych kątów trójkąta ma miarę 45 stopni.

Z twierdzenia cosinusów mi niestety nic nie wychodzi. Jakieś rady?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lis 2014, o 21:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10251
Lokalizacja: Wrocław
Zauważ, że \alpha \neq  \frac{\pi}{2}. Ten stosunek z zadania możesz przekształcić do \frac{1}{\sin \alpha-1}, o ile się nie pomyliłem.
No to bez straty ogólności zakładasz, że jedn z tych boków ma długość 1, drugi ma długość \sin \alpha-1 i z cosinusów powinno właśnie wyjść.
PS
\sin(180-\alpha)=\sin \alpha\\
\cos(180-\alpha)=-\cos \alpha
A możesz sobie tak założyć o bokach, bo wszystkie trójkąty mające kąt tej samej miary i ten sam stosunek długości boków, między którymi ten kąt jest, są podobne. Wynika to chyba z odwrotnego do Talesa, ale musiałbym sobie rozpisać.
EDIT: lol, każdy lubi jak ujemne boki wychodzą, ja jednak nie powinienem się tu wypowiadać. Pewnie zgubiłem minusa w mianowniku.
EDIT2: no już jasne, w mianowniku miało być \sin \alpha-\cos \alpha
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lis 2014, o 21:42 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Ostróda
Myślę, że prędzej będzie \frac{1}{\sin \alpha-\cos \alpha}. Niestety dalej nie wychodzą mi ludzkie wyniki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lis 2014, o 21:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5523
Zapis stopna: ^{\circ}
\frac{\ctan  \alpha }{(1-\ctan \alpha ) \cos \alpha } = \frac{1}{\sin  \alpha -\cos  \alpha }
Boki trójkąta przy kącie 180^{\circ}- \alpha to c i b.
stąd
\frac{b}{c} =\frac{1}{\sin  \alpha -\cos  \alpha }
 \vee \frac{c}{b} =\frac{1}{\sin  \alpha -\cos  \alpha }

Z twierdzenia sinusów mam
\frac{\sin  \beta }{b}= \frac{\sin ( \alpha - \beta )}{c}\\ \frac{b}{c} = \frac{\sin  \beta }{\sin ( \alpha - \beta )}
porównując je masz
\frac{1}{\sin  \alpha -\cos  \alpha } = \frac{\sin  \beta }{ \sin ( \alpha - \beta ) }
\sin ( \alpha - \beta )=\sin \beta (\sin  \alpha -\cos  \alpha)\\ \sin \alpha (\sin \beta -\cos \beta )=0\\  (\alpha  \neq 0 \wedge  \alpha  \neq 180) \Rightarrow  \beta =45^{\circ}
Ty masz do rozwiazania równanie odwrotne:
\sin  \alpha -\cos  \alpha  = \frac{\sin  \beta }{ \sin ( \alpha - \beta ) }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lis 2014, o 22:15 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Ostróda
Przepraszam za głupie pytanie, ale w zapisie:
\frac{\sin \beta }{b}= \frac{\sin ( \alpha - \beta )}{c}\\
Skąd wzięła się prawa strona, tzn. sinus różnicy kątów?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lis 2014, o 22:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5523
Z treści zadania wiesz że kąt między bokami b i c to 180- \alpha .
Przyjąłem że kąt naprzeciw b to \beta , stąd kąt naprzeciw c to 180-(180- \alpha ) -  \beta = \alpha - \beta
Dlatego sinusy kątów \beta i \alpha - \beta pojawiły się w równaniu z twierdzenia sinusów.

Ps. Przy okazji widzę że źle wyświetliła się pierwsza zależność.
Jest : \frac{\ctan  \alpha }{(1-\ctan \alpha ) \cos \alpha } = \frac{1}{\sin  \alpha -\cos  \alpha }
Powinno być : \frac{\ctg  \alpha }{(1-\ctg \alpha ) \cos \alpha } = \frac{1}{\sin  \alpha -\cos  \alpha }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2014, o 15:48 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Ostróda
Nie za bardzo jeszcze rozumiem przejście między tymi równaniami:
\sin ( \alpha - \beta )=\sin \beta (\sin \alpha -\cos \alpha)\\ \sin \alpha (\sin \beta -\cos \beta )=0\\
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2014, o 16:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5523
\sin ( \alpha - \beta )=\sin \beta (\sin \alpha -\cos \alpha)\\ \sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha =\sin \beta \sin \alpha -\sin \beta \cos\alpha \\ \sin \alpha \cos \beta =\sin \beta \sin \alpha  \\
0 =\sin \beta \sin \alpha  -\sin \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha (\sin \beta -\cos \beta )=0\\
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 9 wzorów na pole trójkąta  Anonymous  12
 Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego  Anonymous  1
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Oblicz pole trójkąta - podobieństwo trójkątów  Anonymous  2
 Przy jakiej długości boków trójkąta obwód jest najm  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl