szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 lis 2014, o 22:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Wykazać, że funkcja f: X \rightarrow Y jest iniekcją! wtedy i tylko wtedy! gdy A=f^{-1}(f(A)) dla każdego zbioru A \subseteq X

Nie potrafię radzić sobie z takimi "łatwymi" dowodami, gdzie trzeba wykazać rzeczy bardzo oczywiste..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lis 2014, o 22:20 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Pokazujesz dwa wynikania.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 lis 2014, o 07:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Tak, rozumiem. Tylko jak to porządnie napisać?

Mam udowodnić taką równoważność:
\left( \forall_{x_{1},x_{2}\in X} : x_{1} =x_{2}  \Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2})  \right)  \Leftrightarrow \forall_{A \subseteq X} : A=f^{-1}(f(A))
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2014, o 08:04 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
Zacznijmy od poprawnej definicji różnowartościowości. Zgodnie z Twoją definicją, każda funkcja jest różnowartościowa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2014, o 12:47 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
A jak już poprawnie zdefiniujesz różnowartościowość, to zacznij robić to, co napisałem:
Jan Kraszewski napisał(a):
Pokazujesz dwa wynikania.

Równoważność możesz zastąpić koniunkcją dwóch wynikań i każde z nich dowodzić osobno. Zacznij jednak od dobrego zrozumienia pojęć, którymi operujesz - na dowody nie ma algorytmu, trzeba rozumieć, co się robi.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 lis 2014, o 13:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Jeśli chodzi o definicję surjekcji, to pomyliłam kolejność w implikacji.

Powinno być:

\forall_{x_{1},x_{2}\in X } : f(x_{1})=f(x_{2})   \Rightarrow x_{1}=x_{2}

Biorę dowolne dwa argumenty x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \in X i tworzę z nich podzbiór dziedziny A \subseteq X

Jeśli są one różne to f(x_{1}) \neq f(x_{2})  \neq ... \neq f(x_{n})

Możemy powiedzieć, że f(A)= \left\{ f(x_{1}), f(x_{2}),...,f(x_{n}) \right\}

Teraz f^{-1} powyższego podzbioru to A..

Dlaczego? Ponieważ f^{-1} (f(x_{1}))= x_{1} i tak samo dla wszystkich innych argumentów.
Wynika z tego, że f^{-1} \left( \left\{ f(x_{1}), f(x_{2}),...,f(x_{n}) \right\}\right) = A

Do tego momentu mam dowód wynikania z lewej do prawej.

Czy poprawnie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2014, o 13:21 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Poszukujaca napisał(a):
Jeśli chodzi o definicję surjekcji, to pomyliłam kolejność w implikacji.

To nie jest definicja surjekcji, tylko injekcji.

Poszukujaca napisał(a):
Biorę dowolne dwa argumenty x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \in X i tworzę z nich podzbiór dziedziny A \subseteq X

Jeśli są one różne to f(x_{1}) \neq f(x_{2})  \neq ... \neq f(x_{n})

Możemy powiedzieć, że f(A)= \left\{ f(x_{1}), f(x_{2}),...,f(x_{n}) \right\}

Teraz f^{-1} powyższego podzbioru to A..

Dlaczego? Ponieważ f^{-1} (f(x_{1}))= x_{1} i tak samo dla wszystkich innych argumentów.
Wynika z tego, że f^{-1} \left( \left\{ f(x_{1}), f(x_{2}),...,f(x_{n}) \right\}\right) = A

Do tego momentu mam dowód wynikania z lewej do prawej.

Czy poprawnie?

Nie. Pisałem, byś najpierw zrozumiała pojęcia, nie zrobiłaś tego. Np. f^{-1} nie oznacza funkcji odwrotnej, a zbiór A nie musi być skończony.

Jeżeli chcesz dowieść wynikania z lewej do prawej, to powinnaś skupić się na stronie prawej. Masz pokazać, że dla dowolnego A  \subseteq X zachodzi pewna równość. Ustalasz zatem dowolne A, a równość zastępujesz dwiema inkluzjami. Każdą z nich dowodzisz osobno, wtedy jest łatwiej poprawnie zapisać rozumowanie. Jedna z tych inkluzji zachodzi dla dowolnej funkcji, dowodząc prawdziwości drugiej korzystasz z injektywności funkcji.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 lis 2014, o 18:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
No to próbuję jeszcze raz...

założenie: f:X \rightarrow Y, A \subseteq X

teza: \left( \forall_{x_{1},x_{2}\in X}: f(x_{1})=f(x_{2})  \Rightarrow x_{1}=x_{2} \right)  \Leftrightarrow \forall_{A \subseteq X}: A=f^{-1}(f(A))

Najpierw udowadniam \Rightarrow

A - dowolny, ustalony, niekoniecznie skońćzony podzbiór zbioru X

Zakłdam, że f jest funkcją różnowartościową (iniekcją).

Wtedy \forall_{x_{1},x_{2}}\in A: x_{1} \neq x_{2}  \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})

f(A) to obraz zbioru A przez funkcję f.
f^{-1}(...) oznacza przeciwobraz (wcale nie myślałam o funkcji odwrotnej).

Biorąc f(A) otrzymuję wartości funkcji f dla wszystkich argumentów ze zbioru A. Można powiedzieć, że jest restrykcja tej funkcji do tego zbioru.

Oznaczam f(A)=\left\{ f(x_{1}), f(x_{2}),... \right\} =B - oznaczam tak przeciwobraz funkcji f w tym podzbiorze. Z tej racji, że funkcja jest różnowartościowa, każdemu elemntowi obrazu odpowiada jeden element z przeciwdziedziny.

Potem biorąc przeciobraz z obrazu, gdzie każdy element odpowida dokładnie tylko jednemu, otrzymuję ten sam obraz.

Wiem, że to, co napisałam na pewno nie jest dobre. Takie masło maślane. Jednak rozumiem, twierdzenie. Potrafię sobie wyobrazić na wykresie funkcji i "czuję" jego prawdziwość

Może ktoś poda podobny przykład dowodu? W ten sposób może bardziej zrozumiem, jak je tworzyć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2014, o 18:53 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Poszukujaca napisał(a):
Oznaczam f(A)=\left\{ f(x_{1}), f(x_{2}),... \right\} =B - oznaczam tak przeciwobraz funkcji f w tym podzbiorze. Z tej racji, że funkcja jest różnowartościowa, każdemu elementowi obrazu odpowiada jeden element z przeciwdziedziny.

Powinnaś być zdecydowanie uważniejsza, w tym krótki fragmencie są dwa stwierdzenia, które nie mają sensu.

Poszukujaca napisał(a):
Wiem, że to, co napisałam na pewno nie jest dobre. Takie masło maślane. Jednak rozumiem, twierdzenie. Potrafię sobie wyobrazić na wykresie funkcji i "czuję" jego prawdziwość.

To, co napisałaś nie spełnia wymagań formalnych dowodu matematycznego. Dobrze, że masz intuicję prawdziwości twierdzenia, ale to za mało, zwłaszcza, że intuicje potrafią być zwodnicze.

Ustaliliśmy, że masz pokazać dwa zawierania:
1) A \subseteq f^{-1}[f[A]],
2) f^{-1}[f[A]] \subseteq A.

Pierwsze zawieranie nie wymaga różnowartościowości i jest łatwe do dowiedzenia. Ustalasz dowolne x\in A. Wtedy z definicji obrazu mamy f(x)\in f[A], co jednak z definicji przeciwobrazu jest równoważne temu, że x\in f^{-1}[f[A]]. Powołanie się na definicję inkluzji kończy dowód.

Drugie zawieranie wymaga jak widać odwrócenia pierwszej implikacji. Zastanów się zatem, jak z korzystając różnowartościowości funkcji f porządnie uzasadnić, że f(x)\in f[A] pociąga x\in A, a potem zapisz porządnie cały dowód tego zawierania.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Dowód na tw. Fermata  Mbach  2
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl