szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lis 2014, o 22:55 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Kraków
Mam problem z zadaniami z funkcji wypukłej oraz z funkcją odwrotną.
1. Wykazać, że g(x)=  \sqrt{2^{x-1} } jest wypukła.
2. Znajdź funkcję odwrotną do y= \frac{1-x}{1+x}
3. Znależć funkcję odwrotną y= \log _{3}x
Mój znakomity profesor zaczął robić to zadanie tak:
\log _{3}( \alpha x+ \beta y)  ^{ (\alpha x \beta y-2)}  \le  \log _{3}..
Niestety nie miałam jeszcze przyjemności poznać pochodnej, wiec byłabym wdzieczna za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2014, o 01:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5703
2. y= \frac{1-x}{1+x}
(x+1)y=1-x \\ xy+x=1-y \\ x(y+1)=1-y \\ x= \frac{1-y}{1+y}

3. y= \log _{3}x
y \cdot 1= \log _{3}x \\ y  \cdot \log _{3} 3 = \log _{3}x \\ \log _{3} 3 ^{y}  = \log _{3}x \\3 ^{y}=x
To samo uzyskasz z definicji logarytmu.

Cytuj:
Niestety nie miałam jeszcze przyjemności poznać pochodnej, wiec byłabym wdzieczna za pomoc.

Bez znajomości pochodnych trudno jest wykazać wypukłość krzywej. Sposób który przychodzi mi do głowy to narysować zadaną krzywą , a następnie pokazać że dowolna styczna do tej krzywej jest zawsze nad (pod) tą krzywą.
Tu masz y=2 ^{ \frac{x-1}{2} } \Rightarrow y=  \frac{ \sqrt{2} }{2}( \sqrt{2} ) ^{x} co jest krzywą wykładniczą która w swojej dziedzinie jest wklęsła (wypukła).
Analitycznie masz:
funkcja g jest wypukła (wklęsła ) gdy g''<0;
funkcja g jest wklęsła (wypukła ) gdy g''>0;
Ta niejednoznacznośc wynika z tego że wypukłość jest różnie definiowana. Zobacz co wasz nauczyciel uważa za wypukłe. Patrząc na zadanie 1 sadzę że dla niego właściwe są określenia z nawiasów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2014, o 08:15 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Wypukłość można badać z nierówności Jensena, równoważnej wypukłości funkcji.

\forall\ x,y\in X\ \ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}


U nas do sprawdzenia jest

\forall\ x,y\in X\ \sqrt{2^{\frac{x+y}{2}-1}}\leq \frac{\sqrt{2^{x-1}}+\sqrt{2^{y-1}}}{2}


ale powyższe to, jak dobrze podstawiłem, nierówność AM-GM.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2014, o 10:46 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
yorgin, jesteś pewien? Nie jestem ekspertem w dziedzinie, ale nie jest konieczne zachodzenie nierówności dla wszystkich par wag \left( p, \ q\right) sumujących się do jedności, a nie tylko dla \left( \frac{1}{2}, \ \frac{1}{2}\right)?

Zanim wysłałem, uznałem, że pogooglam - dla funkcji ciągłych okazuje się to równoważne - ile to można się przy okazji nauczyć.

Zostawiam, bo może nie ja jeden będę miał takie wątpliwości, to znajdzie tu odpowiedź.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl