szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2014, o 16:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 391
Lokalizacja: Pomorskie
Udowodnić, że jeśli p \ge 7 jest liczbą pierwszą, to liczba \left( p ^{2}-1 \right)\left( p ^{2} -4\right) jest podzielna przez 120.
Czy dobrze myślę, aby pokazać, że p=6k \pm 1 gdzie k \in C \wedge k \ge 1?
Próbuję na tym bazować, ale dochodzę do momentu, gdy mam wyłączone przed nawias 3 \cdot 12. A może to inaczej trzeba zrobić ?
Z góry dzięki za pomoc :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2014, o 18:12 
Użytkownik

Posty: 14749
Lokalizacja: Bydgoszcz
pomyśl przez jakie liczby dzieli się w takim przypadku (p-2)(p-1)(p+1)(p+2)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2014, o 18:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 642
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Rzeczywiście liczb pierwszych większych od 3 należy szukać wśród liczb postaci 6k \pm 1. (inne postacie dają liczby złożone)

weźmy np. p = 6k+1

\left( p ^{2}-1 \right)\left( p ^{2} -4\right) = \left( 36k^2 + 12k \right)\left( 36k^2 + 12k - 3\right) =

= 12k(3k+1)\cdot 3 \cdot (12k^2 + 4k - 1) (*)

120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5

do szcześcia brakuje nam w (*) podzielności przez 5 i jeszcze raz przez 2.

jeśli 2 dzieli k to jest dwójka, jeśli nie to 3k + 1 jest podzielne przez 2.

rozpatrzmy wyrażenie 12r^2 + 4r - 1, gdzie r \in \{1,2,3,4\}

dla r = 1,2 mamy: 15,55 ale dla r=3,4 mamy: 119, 207

Ale dla r = 3 podzielne przez 5 jest 3r + 1

rozpatrzmy na koniec k = 5r + 4

Taka liczba pierwsza p nie istnieje, bo 6k + 1 = 30 r + 25

Zostaje rozpatrzeć liczby postaci 6k - 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2014, o 20:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 391
Lokalizacja: Pomorskie
Dzięki! :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2014, o 21:06 
Użytkownik

Posty: 14749
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ja tam wole kombinować prościej:
liczby p-1, p-1 są parzyste, więc jedna jet podzielna przez 2, druga przez 4, liczb p-2, p-1, p+1,p+2 co najmniej dwie są podzielne przez 3 (bo p nie jest), a jedna przez 5 (z tego samego powodu). Zatem ich iloczyn jest podzielny przez 2\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 5=360
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Reszta z dzielenia przez 8  pani_a  2
 reszta z dzielenia przez 73  leszczu450  5
 Podzielność sumy przez 90  Danlew  1
 podzielność przez 35  marty  1
 dzielenie przez 5,6,60 i reszty  ooolllaaa8883  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl