szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lis 2014, o 20:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 17
Udowodnij, że dla liczb całkowitych 0 \le k < l \le  \frac{n}{2} mamy:

{n \choose k}  <   {n \choose l}.

Zaczęłam w ten sposób:

\frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{n!}{l!(n-l)!}

Ponieważ liczniki są takie same, to możemy zapisać, że aby nierówność zachodziła, to:

k!(n-k)! >  l!(n-l)!

Zgodnie z założeniem k< l, więc k! < l!

Tak więc musimy udowodnić, że
(n-k)! > (n-l)!

No i co teraz?
Dla mnie ta nierówność jest oczywista k < l więc (n-k) > (n-l).Ale czy wystarczy to tak zapisać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2014, o 21:00 
Użytkownik

Posty: 12615
Zdecydowanie nie wystarczy (tj. wystarczy dla pokazania tej nierówności, ale ona nie kończy dowodu). Z tego, że a<b i c>d nie wynika w żaden sposób, że ac>bd, a chyba próbujesz tu zastosować podobne rozumowanie.
Ja bym proponował podzielić stronami przez k!(n-l)! (ale nie zpaisywać dalej ułamków, tylko poskracać z def. silni) i zastosować założenie, że 0 \le k<l \le  \frac{n}{2}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lis 2014, o 22:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 17
Rozpisałam to sobie, siedzę nad kartką i nie rozumiem.

k!(n-k)!  >  l!(n-l)!

\frac{(n-k)!}{(n-l)!} >  \frac{l!}{k!}

Wiem, że l! > k! oraz (n-k)! > (n-l)!

Ale nie pomaga mi to, aby zobaczyć, że lewa strona jest większa od prawej. :cry:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2014, o 22:47 
Użytkownik

Posty: 12615
Ja prosiłem, żebyś poskracała, a nie zapisywała ułamki. Jako że l>k z założenia, to
\frac{(n-k)!}{(n-l)!}= \prod_{i=1}^{l-k}n-l+i=(n-l+1)...(n-k). Ponadto \frac{l!}{k!}= l(l-1)...k= \prod_{i=k+1}^{l}i. Teraz ponieważ k<l \le  \frac{n}{2}, to prawdziwe są nierówności n-l+1 \ge k+1, n-l+2 \ge k+2 i tak dalej, aż do n-k \ge l - wystarczy je przemnożyć stronami i dostajesz nierówność równoważną tezie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 nierownosc z 5 zmiennymi - ile rozwiazan w l. naturalnych?  Anonymous  25
 Rozwiazywanie rownania z uzyciem wzoru Newtona  birdy1986  7
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 dwumian newtona - zadanie 2  basia  1
 Symbol Legendre'a i kongruencje  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl