szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 lis 2014, o 13:07 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Kraków
Witam :) Proszę o pomoc w rozwiązaniu:
Znaleźć zbiór wartości funkcji określonej wzorem:
f(x)=x^{4}+2x^{2}-3
Domyślam się, że należy wykorzystać zmienną pomocniczą t, aczkolwiek współrzędne wierzchołka funkcji t^{2}-2t-3 są inne niż funkcji wyjściowej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2014, o 13:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3367
Lokalizacja: Krk
Pomyśl jaka będzie najmniejsza wartość tej funkcji. Dwa pierwsze człony są zawsze nieujemne.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 lis 2014, o 13:24 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Kraków
Tak wiem, że to będzie -3, chodziło mi o jakiś formalny zapis, ogólny sposób jak postępować z tego typu funkcjami. Dzięki za pomoc :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2014, o 13:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3367
Lokalizacja: Krk
Więc jak z f(x)=x^{4}+2x^{2}-3 dostałaś t^{2}-2t-3?

Jakie to podstawienie?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 lis 2014, o 13:35 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Kraków
Wykorzystałam zmienną pomocniczą. Przyjełam, że t=x^{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2014, o 13:40 
Użytkownik

Posty: 2044
Lokalizacja: Warszawa
Albo zrób tak:
1. Zobacz, że funkcja jest parzysta (a więc symetryczna wzgl. osi OY
2. Znajdź minimum (jest w punkcie x=0)

Z tych dwóch p-któw wynika, że f(x) jest malejąca w przedziale \left( - \infty , \ 0\right) i rosnąca w przedziale \left( 0, \  \infty \right)

Wystarczy, że policzysz y _{min}= f(0) i \lim_{x \to  \infty } f(x) i to wyznaczy Ci zbiór wartości tej funkcji.

:)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 lis 2014, o 14:03 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Kraków
A w jaki sposób mogę znaleźć minimum z pkt 2?
Z góry dziękuję za pomoc ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2014, o 14:58 
Użytkownik

Posty: 2044
Lokalizacja: Warszawa
Liczysz pochodną funkcji f(x) i patrzysz, gdzie zmienia znak. :)

Zapewne nie miałaś jeszcze pochodnych. Policzmy więc:

f(x)=x^{4}+2x^{2}-3

f'(x)=4x^3+4x= 4x(x^2+1)

f'(x)=0  \Leftrightarrow x=0

f'(x)<0  \Leftrightarrow x<0, a więc dla tych iksów funkcja jest malejąca
f'(x)>0  \Leftrightarrow x>0, a więc dla tych iksów funkcja jest rosnąca.
Oznacza to, że dla x=0 funkcja ma minimum

f _{min} = f(0)= -3

\lim_{x \to \infty } f(x)= \infty

Zatem zbiór wartości funkcji f(x) to przedział \left\langle -3, \  \infty \right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2014, o 15:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3367
Lokalizacja: Krk
\left[ -3, + \infty \right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2014, o 15:06 
Użytkownik

Posty: 2044
Lokalizacja: Warszawa
Masz rację, Mortan, to moje gapiostwo. Już poprawiłem... :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczenie zbioru wartości funkcji - zadanie 3  immo  2
 Wyznaczenie zbioru wartości funkcji  Tomus  1
 wyznaczenie zbioru wartosci funkcji  aerow  3
 wyznaczenie zbioru wartości funkcji - zadanie 2  tomi140  1
 Wyznaczenie zbioru wartości funkcji - zadanie 4  zamir4  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl