szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 lis 2014, o 18:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Dwa z boków trójkąta mają długości a, b. Oblicz długość trzeciego boku trójkąta wiedząc, że miara kąta przeciwległego temu bokowi jest dwa razyy większa od miary kąta przeciwległego bokowi b.

Domyślam się, że skoro mamy dwie dane - a, b, to wynik czyli długośc boku c trzeba przedstawić tylko w zależności od tych dwóch boków, ponieważ nic innego nie mamy dane.

Myślę, że droga to rozwiązania tego zadania wiedzie przez skorzystanie z twierdzeń - sinusów i cosinusów, by w ten sposób znaleźc zależności między długościami boków, oczywiście korzystając z tej podanej własności kątów.

Nie potrafię zapisac tak długości c, b nie było w nim wartości kąta \alha, który oznaczyłam sobie jako kąt leżący na przeciwko boku b.

Mam na razie tyle:

c=\frac{b}{\cos 2\alpha}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2014, o 18:38 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Lepiej może tak: z tw. sinusów \frac{c}{\sin 2\alpha}=\frac{b}{\sin\alpha}\implies c=b\frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha}=2b\cos\alpha\implies\cos\alpha=\frac{c}{2b}, a następnie z tw.kosinusów: b^2=a^2+c^2-2ac\cos\alpha=a^2+c^2-\frac{ac^2}{b}\implies (b-a)c^2=b(b^2-a^2)=b(b-a)(b+a)

Teraz rozważ dwa przypadki, wyciągając odpowiednie wnioski z otrzymanej równości.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 lis 2014, o 21:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Pierwszy przypadek a=b
I właśnie co wtedy? Wydaje mi się, że wtedy nie możemy wyciagnąć żadnego wniosku z otrzymanej równości.
Trójkąt będzie równoramienny, wobec tego:

\frac{a}{\sin \beta}=\frac{b}{\sin \alpha}  \Rightarrow \alpha=\beta czyli możemy obliczyć miary wszytskich kątów w trójkącie.

180=4 \alpha  \Leftrightarrow \alpha = 45

c= \cos 45  \cdot 2b= \sqrt{2} b

Drugi przypadek: a \neq b.
Wtedy liczymy c z otrzymanej wyżej równości:
c= \sqrt{b^{2}-ab}

Dobrze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 13:05 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Raczej c=\sqrt{b^2+ab} (dla a\ne b).

Warto zauważyć, że ta równość jest prawdziwa też w przypadku a=b (wtedy mamy istotnie c=b\sqrt{2}.

Zatem jako rozwiązanie wystarczy podać wzór c=\sqrt{b^2+ab} (prawdziwy, jak wynika z powyższych rozważań, w każdym przypadku).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Długość okręgu wpisanego  Danetix  1
 Długość środkowej trójkąta - zadanie 2  Kidex  3
 długość środkowej trójkąta  stanleyib  1
 dł trzeciego boku trojkata - zadanie 2  południowalolka  1
 trójkąt prostokątny,długość środkowej  wirus1910  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl