szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 13:00 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Ciasna
Witam, mam problem z poniższym zadaniem:
Oblicz, na ile sposobów 5 osób może wysiąść z windy na 9 piętrach, jeśli:
a) na każdym piętrze wysiada co najwyżej jedna osoba
b) dokładnie dwie osoby wysiadają na tym samym piętrze.

odpowiedzi: a) 216 b) 2160

Wydawało mi się, że w przykładzie a będzie to wariacja bez powtórzeń \frac{9!}{(9-5)!} , jednak odpowiedź sugeruje zastosowanie kombinacji {9 \choose 5} . Mógłby ktoś wytłumaczyć dlaczego w ten sposób?

Na przykład b nie mam w ogóle pomysłu i również prosiłbym o rozwiązanie z wytłumaczeniem.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 13:18 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4350
Lokalizacja: Nowa Ruda
Kwestia, czy rozróżniasz ludzi, czy nie. Jak dla o ile nie jest to zaznaczone, to ludzi powinniśmy rozróżniać. Także Ty masz rację.
Druga odpowiedź też mnie dziwi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 13:43 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Ciasna
Przykład b rozwiązałbym tym sposobem:
Liczę iloma sposobami można z tych 5-ciu ludzi utworzyć jedną parę: {5 \choose 2} co daje 10 możliwości.
Potem, gdy już mam jedną parę i 3 pojedyncze osoby liczę możliwości pięter na których mogą wysiąść (mamy 4 'jednostki'):
\frac{9!}{(9-4)!} = 9*8*7*6 = 3024
Następnie mnożę ilość możliwości par * możliwości wysiadania: 10*3024=30240
Jak widać wynik jest dosyć mocno rozbieżny z tym w odpowiedziach. :D Nie mam pojęcia jak można by to rozwiązać inaczej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 13:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4350
Lokalizacja: Nowa Ruda
Coś w tym stylu.
Najpierw wybierasz jakie osoby będą w parze, ale wybierasz również im piętro:
\binom{5}{2}\cdot 9
Pozostałe 3 osoby rozkładasz po jednej w pozostałych 8 piętrach, więc:
\frac{8!}{5!}.
Gdybyśmy nie rozróżniali, to wtedy, wybierasz piętro, na którym znajdą się dwie osoby na 9 sposobów. Następnie wybierasz na \binom{5}{3} sposobów gdzie wysiądzie po jednej osobie.
Ostatnia wersja jest taka, że interpretujemy to tak, na jednym z pięter znajdują się dwie osoby, na pozostałych różnie, mogą być dwie, mogą być trzy (osoby może rozróżniać, bądź nie). To jednak trochę żmudne w liczeniu i ze względu na moje lenistwo niewykonalne dla mnie ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
a) Jeśli osoby są nierozróżnialne, to \binom95=126, czyli nie 216. Jeśli osoby rozróżnialne, to 9\cdot8\cdots5=15120, czyli też nie.

b) (przy interpretacji: "istnieje dokładnie jedno piętro, na którym wysiadają dokładnie dwie osoby")
Jeśli osoby są nierozróżnialne, to

9\cdot\binom83 + 9\cdot 8=576.

Jeśli rozróżnialne, to

9\cdot \binom52 \cdot 8\cdot7\cdot6 + 9\cdot\binom52\cdot8=30960.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 15:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4350
Lokalizacja: Nowa Ruda
Także samo zadanie jest trochę nieprecyzyjnie napisane. Ciężko o dokładną interpretację.
Jednak najbardziej zaskakujące są odpowiedzi.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Sposoby rozmieszczenia kul  artmat  4
 Grafy; tablica n na n; n osób w kolejce; rekurencja.  kswiss  6
 ustawianie osób  darek20  3
 Kombinacje, wybór 3 druzyn sposrod 15 osob  NoMonkey  1
 Sposoby wyboru kapeluszy  olek19  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl