szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 16:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Cześć!

Dowodząc pewnego faktu odnośnie funkcji o wahaniu skończonym napotykam pewien problem związany z kresem górnym. Mianowicie mam taką równość:

V(\Pi_1,f) + V(\Pi_2,f)= V(\Pi,f) ,

gdzie \Pi_1 to podział odcinka \left[ a,c\right], \Pi_2 to podział odcinka \left[ c,b\right], zaś \Pi=\Pi_1  \cup \Pi_2 to podział odcinka \left[ a,b\right]. No i oczywiście f to funkcja określona na \left[ a,b\right].

Przechodzę teraz do kresu z prawej strony równości. Skoro równość zachodzi dla dowolnych podziałów, to jak wezmę po prawej stronie supremum po wszystkich podziałach odcinka \left[ a,b\right], to jasne jest, że mam:

V(\Pi_1,f) + V(\Pi_2,f) \le W_a^b(f)

Teraz część, której do końca nie rozumiem. Dowód leci tak:

Rozważając kres górny lewej strony po wszystkich podziałach \Pi_1 i przy ustalonym podziale \Pi_2 mamy:

W_a^c(f) + V(\Pi_2,f) \le W_a^b(f)

Analogicznie z drugim składnikiem i mamy:

W_a^c(f) + W_c^b(f) \le W_a^b(f)

Dlaczego nie mogłem przejść z kresem od razu po obu składnikach? Dlaczego musiałem ustalać jeden i działać na drugim ?

Z góry dziękuję za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 17:12 
Użytkownik

Posty: 1568
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Przecież chciałeś dostać wahania z lewej strony, więc musiałeś wziąć supremum każdego z osobna, a nie razem, bo taka a nie inna jest definicja wahania ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 17:18 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Adifek, nie zrozumiałeś mnie : ) Chodzi mi o to dlaczego nie mogłem w jednym kroku wziąc supremum po pierwszym składniku i supremum po drugim ? Po co ustalałem napierw jeden i działałem na drugim ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 17:27 
Użytkownik

Posty: 1568
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Bo przecież musisz nakładać supremum obustronnie.

Jak masz
a_n \le b_n

to oczywiście z prawej strony możesz wziąć supremum i nierówność się zachowa, bo b_n \le \sup_n b_n. Z lewej nie możesz brać supremum, bo wciskasz coś w środek. Przemyśl chociażby a_n = 1-\frac{2}{n} oraz b_n=1-\frac{1}{n}. W takiej sytuacji musisz nakładać supremum na całą nierówność i tak też czynisz. Ale rozkładasz to na dwie raty, żeby zgadzać się z definicją wahania. Inaczej dostalibyśmy coś \le od sumy wahań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 17:33 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Adifek, nakładanie supremum z góry rozumiem. Jednak tego co mówisz o supremum z lewej strony nierówności już nie rozumiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 17:35 
Użytkownik

Posty: 1568
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Dobra, spróbuje bardziej tłumaczyć:

nie możesz wciąć \sup L \le \sup P, bo z lewej strony nie będzie Ci się zgadzać z definicją. Nie możesz też wziąć np. L1 +\sup L2 \le P, bo nie możesz brać z lewej strony supremum (patrz podany przykład). Tak więc robisz jedyną możliwą opcję, która została ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 17:48 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Adifek, nie rozumiem dlaczego nie mogę wziąć supremum po lewej stronie ? Co masz na myśli mówiąc : "wciskasz coś w środek" ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 18:11 
Użytkownik

Posty: 1568
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
No spójrz na ten przykład, który podałem Ci na tacy:

a_n = 1-\frac{2}{n}, b_n=1-\frac{1}{n}

Nie możesz wziąć tylko z lewej supremum, bo dostaniesz nieprawdę: 1\le 1-\frac{1}{n}.

Stąd wynika taka kolejność brania supremum. Najpierw bierzesz supremum z prawej strony. To już jest liczba, więc się nie rusza. Teraz tak: teraz możesz wziąć normalnie obustronnie supremum. Ale to Ci nic nie da, bo nie będzie się zgadzało z definicją. Trik jest więc taki, że jeden składnik z lewej ustalasz. Wtedy biorąc supremum całości, sprowadzi się to tylko do supremum w tym drugim składniku. itd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 18:12 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Adifek, czy przypadkiem nie jest tak, że \sup(a+b)= \sup a + \sup b ? Dlaczego więc nie mogę wziąć obustronnie supremum i potem skorzsytać z tego co tutaj napisałem ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 18:13 
Użytkownik

Posty: 1568
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
leszczu450 napisał(a):
Adifek, czy przypadkiem nie jest tak, że \sup(a+b)= \sup a + \sup B ? Dlaczego więc nie mogę wziąć obustronnie supremum i potem skorzsytać z tego co tutaj napisałem ?

prawdą jest jedynie, że \sup(a+b) \le  \sup a + \sup b
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2014, o 18:15 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Adifek napisał(a):
prawdą jest jedynie, że \sup(a+b) \le  \sup a + \sup b


No fakt !

-- 16 lis 2014, o 19:18 --

Adifek, rozumiem pierwszy krok. Biorę supremum z prawej strony. To mi nic nie psuje. I daje mi dobrą nierówność. Rozumiem już też dlaczego nie mogę wziać supremum z lewej strony. Wtedy tak jak mówisz, coś po środku i utknąłem. Zatem jedyną drogą jest najpierw ustalenie jednego składnika i wzięcie supremum po całości lewej strony. I potem drugi raz supremum po tym składniku ustalonym wcześniej. Ale w sumie to nie rozumiem, dlaczego to akurat działa. Wiem, że te inne sposoby nie działają. Ale skąd mam pewność, ze tutaj wszystko jest ok ?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczyć kres zbiorów  ahmmal  1
 Kres górny zbioru wartości  Hirakata  3
 przedstaw funkcję w postaci sumy funkcji parzystej i nieparz  wojtek_20030  2
 funkcja sumy i roznicy  Shusheiri  9
 Suma minimów i minimum sumy  Efendi  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl