szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2014, o 17:27 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Warszawa
Cześć! :) Mam do rozwiązania równanie:
z^2-2z+1-2i=0
Próbuję, ale coś mi nie wychodzi. 2 delta wychodzi na - i nie wiem co dalej. Mam tak:
\Delta=(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (1-2i) \\[1ex]
 \Delta=4-4+8i  \\[1ex]
 \Delta=8i  \\[1ex]
 \sqrt{\Delta}=a+bi ; a-bi  \\[1ex]
 \begin{cases} a^2+b^2=0\\ 2abi=8i \end{cases}  \\[1ex]
 b= \frac{4}{a}  \\[1ex]
 a^2+\frac{16}{a^2}=0  \\[1ex]
 t=a^2 \quad \Big|  t>0  \\[1ex]
 t+ \frac{16}{t}=0| \cdot t  \\[1ex]
 t^2+16=0  \\[1ex]
 \Delta=0-4 \cdot 16  \\[1ex]
 \Delta=-64
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2014, o 17:51 
Użytkownik

Posty: 120
Delta jest ok. Dalej tak, jak dla równań kwadratowych o współczynnikach rzeczywistych, tzn:

x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.

Skoro \Delta = 8i, to będą dwa pierwiastki zespolone z \Delta stopnia dwa, prawda? Wstawiasz je po prostu do wzoru na x i masz :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2014, o 17:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6507
wodeczka94 napisał(a):
Cześć! :) Mam do rozwiązania równanie:
z^2-2z+1-2i=0
Próbuję, ale coś mi nie wychodzi. 2 delta wychodzi na - i nie wiem co dalej. Mam tak:
\Delta=(-2)^2-4*1*(1-2i)
\Delta=4-4+8i
\Delta=8i
\sqrt{Delta}=a+bi ; a-bi
\begin{cases} a^2\; {\red  \; - \ }b^2=0\\ 2abi=8i \end{cases}


-- 24 lis 2014, o 16:54 --

ucwmiu napisał(a):
Skoro \Delta = 8i, to \sqrt{\Delta} =  \pm i2\sqrt{2}, prawda? .

Niestety nie bo
\left( i2\sqrt{2}\right)  ^{2} =-8 \neq i8
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2014, o 18:24 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Warszawa
Aaaa. No faktycznie, nie dopatrzyłem. Dzięki ! :) Mógłbyś mi jeszcze tylko napisac, czy dobrze rozwiązałem ?
z^-2z+1-2i=0
\Delta=(-2)^2-4*1*(1-2i)
\Delta=4-4+8i
\Delta=8i
\sqrt{Delta}={a+bi ; a-bi}
\begin{cases} a^2-b^2=0\\ 2abi=8i \end{cases}
b= \frac{4}{a}
a^2- \frac{16}{a^2}=0
t=a^2 | t>0
t- \frac{16}{t}=0 | *t
t^2-16=0
\Delta=0-4*(-16)
\Delta=64
\sqrt{Delta}=8
t1= \frac{-8}{2}
t1=-4 <--- Sprzeczne
t2= \frac{8}{2}
t2=4
t>0 | <=> t=4
a^2=4
\begin{cases} a=2 \\ b=2 \end{cases}
\begin{cases} a=-2 \\ b=-2 \end{cases}
\sqrt{Delta}={2+2i ; -2-2i} <--- tego nie jestem pewien
z1= \frac{2+2+2i}{2}
z1= \frac{4+2i}{2}=2+2i
z2= \frac{2-2-2i}{2}
z2= \frac{-2i}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2014, o 18:42 
Użytkownik

Posty: 120
Jest ok, ale z kompletnie nie rozumiem, dlaczego tak liczyłeś ten pierwiastek z wyróżnika :D

Jest ogólny wzór (na k-ty pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej z:

z_k = \sqrt[n]{z}\left(\cos (\frac{\phi + 2k\pi}{n}) + i\sin (\frac{\phi + 2k\pi}{n}), gdzie \phi = Arg(z).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2014, o 19:08 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Warszawa
Mógłbyś mi jeszcze sprawdzić, tak dla potwierdzenia 2 przyklad, czy dobrze zorbilem ? :)

z^2+(1+i)z+b+3i=o
\Delta=(1+i)^2-4*1*(6+3i)
\Delta=1+2i+i^2-24-12i
\Delta=-24-10i
\begin{cases} a^2+b^2=-24\\ 2abi=-10i\end{cases}
b= - \frac{5}{a}
a^2- \frac{25}{a^2}=-24
a^2=t | t>0
t- \frac{25}{t}+24=0 | *t
t^2+24t-25=0
\Delta=24^2-4*(-25)
\Delta=676
\sqrt{\Delta}=26
t1= \frac{-24-26}{2}
t1= sprzeczne
t2={-24+26}{2}
t2=1
t>0 <=> t=1 <=> a^2=1
\begin{cases} a=1\\ b=-5\end{cases}
\begin{cases} a=-1\\ b=5\end{cases}
\sqrt{\Delta}=1-5i ; -1+5i
z1= \frac{-1-i-1+5i}{2}
z1= \frac{-2+4i}{2}
z1=-1+2i
z2= \frac{-1-i-1+5i}{2}
z2= \frac{-2+4i}{2}
z2= -1+2i
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lis 2014, o 07:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6507
wodeczka94 napisał(a):
\sqrt{Delta}={2+2i ; -2-2i} <--- tego nie jestem pewien

Tu zawsze otrzymasz liczby przeciwne, Możesz posługiwać sie tylko jedną z nich stosując wzory na pierwiastki które znasz ze szkoły sredniej. Stosując drugą masz dokładnie te same pierwiastki.

wodeczka94 napisał(a):
z1= \frac{2+2+2i}{2}
z1= \frac{4+2i}{2}=2+2i
z2= \frac{2-2-2i}{2}
z2= \frac{-2i}{2}

Tu chyba żle przepisałeś z kartki bo błąd jest w ostatnim przekształceniu na z1. Rozwiązanie to z _{1}=2+i \vee z _{2}=-i
wodeczka94 napisał(a):
z1= \frac{-1-i-1+5i}{2}
z1= \frac{-2+4i}{2}
z1=-1+2i
z2= \frac{-1-i-1+5i}{2}
z2= \frac{-2+4i}{2}
z2= -1+2i

Tu dwukrotnie policzyłeś ten sam pierwiastek. Powinno być
z _{1} = \frac{-1-i-1+5i}{2}=1+i2 \vee z _{2} = \frac{-1-i+1-5i}{2}=-i3


ucwmiu napisał(a):
Jest ok, ale z kompletnie nie rozumiem, dlaczego tak liczyłeś ten pierwiastek z wyróżnika :D

Metoda stosowana przez wodeczka94 jest poprawna i często stosowana w równaniu kwadratowym. Pozwala znależć postać ogólną pierwiastka kwadratowego z dowolnej liczby zespolonej , zwłaszcza takiej której postać trygonometryczna jest kłopotliwa (a w pierwszym przykładzie tak nie jest i tu faktycznie wzór de Moivrea będzie szybszy). Dla pierwiastków wyższego stopnia można próbowac ja stosować, ale część obliczeniowa jest na tyle odstręczająca że stosuje się wzór który podałeś.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Problem z rozwiązaniem równania - zadanie 3  Benzen  2
 Problem z rozwiazaniem równania  lukaszmacher  1
 problem z rozwiązaniem równania  lukaszn  5
 Problem z rozwiązaniem równania - zadanie 2  pavel  3
 Problem z rozwiązaniem równania - zadanie 5  ramefn  15
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl