szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lis 2014, o 20:09 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Warszawa
Witam,

Jeśłi mam dane równanie :
a_{n+1} = -2 a_{n} - a _{n- 1} 

a _{0} = 1, a _{1} = -3

i po wyznaczeniu z równania charakterystycznego q _{0} = -1 , oraz rozwiązaniu równania

A(-1) ^{n} + B(-1)^{n} wyszło mi A = 1 i B = 2 , to w jaki sposób ułożyć teraz z tego równanie A _{n} ?

Drugie zadanie, to w jaki sposób wyznaczyć wzór ogólny tego ciągu okresowego ?

2,0,-2,0,2,0,-2,0 ..

Za pomoc z góry dziękuję :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lis 2014, o 20:16 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12727
Lokalizacja: Kraków
Rozwiązanie ogólne pierwszego jest inne:

a_n=(An+B)(-1)^n.

Poza tym mam wrażenie, że nie do końca wiesz, co robisz.

W drugim można poeksperymentować z funkcją cosinus (która dla wielokrotności pewnego argumentu przyjmuje wartości kolejno 1, 0, -1, 0, 1, \ldots etc).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lis 2014, o 20:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3302
Lokalizacja: blisko
a_{n}=(1+2n)(-1)^n


drugie:

a_{n}=2\cos \frac{\pi}{2}(n-1)


W pierwszym po prostu pomylił postać rozwiązania dla przypadku w którym oba pierwiastki równania charakterystycznego są różne z przypadkiem gdy mamy pierwiastek podwójny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2014, o 04:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6627
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Jak się rozwiązuje z użyciem funkcji tworzących to wszystko widać

a_{n+1} = -2 a_{n} - a _{n- 1} 

a _{0} = 1, a _{1} = -3

a_{n}=-2a_{n-1}-a_{n-2}\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
 \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}= -2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n}}- \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n}}\\
 \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}=-2x\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}}-x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}}\\
 \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}=-2x\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}  \\
  \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-a_{1}x-a_{0}=-2x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-a_{0} \right)-x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}  \\
A\left( x\right)+3x-1=-2x\left( A\left( x\right)-1 \right)-x^2A\left( x\right)\\
A\left( x\right)+3x-1=-2xA\left( x\right)+2x-x^2A\left( x\right)\\
A\left( x\right)\left( 1+2x+x^2\right)=-x+1\\
A\left( x\right)= \frac{-x+1}{\left( x+1\right)^2 }=\frac{-x-1+2}{\left( x+1\right)^2 }\\
A\left( x\right)=-\frac{1}{1+x}+\frac{2}{\left( 1+x\right)^2 }\\
 \frac{1}{1+x}= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -1\right)^n x^n}\\
 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(  \frac{1}{1+x} \right)=-\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\
 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(  \sum_{n=0}^{ \infty }{\left(-1\right)^nx^n} \right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left(-1\right)^{n}nx^{n-1}}\\
= \sum_{n=1}^{ \infty }{\left(-1\right)^{n}nx^{n-1}}= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left(-1\right)^{n+1}\left( n+1\right)x^{n} }=-\sum_{n=0}^{ \infty }{\left(-1\right)^{n}\left( n+1\right)x^{n} }    \\
 \frac{1}{1+x}= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left(-1\right)^nx^{n}} \\
  \frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }=\sum_{n=0}^{ \infty }{\left(-1\right)^{n}\left( n+1\right)x^{n} } \\
A\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{-1 \cdot \left(-1\right)^nx^{n}}+\sum_{n=0}^{2\infty }{\left(-1\right)^{n}\left( n+1\right)x^{n} }  \\
a_{n}=-1 \cdot 1^n+2\left( n+1\right) \cdot \left( -1\right) ^{n}\\
a_{n}=\left( 2n+1\right) \cdot \left( -1\right)^{n}

2.

a_{n}=a_{n-4}\\
a_{0}=2,a_{1}=0,a_{2}=-2,a_{3}=0\\
A\left( x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\\
 \sum_{n=4}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=\sum_{n=4}^{\infty}{a_{n-4}x^{n}}\\
  \sum_{n=4}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=x^4\sum_{n=4}^{\infty}{a_{n-4}x^{n-4}}\\
\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-a_{3}x^3-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0} \right)=x^4\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\\
A\left( x\right)+2x^2-2=x^4A\left( x\right)\\
A\left( x\right)\left( 1-x^4\right)=2-2x^2\\
A\left( x\right)= \frac{2\left( 1-x^2\right) }{1-x^4}\\
A\left( x\right)= \frac{2\left( 1-x^2\right)}{\left( 1-x^2\right)\left( 1+x^2\right)  } \\
A\left( x\right)=\frac{2}{1+x^2}\\
A\left( x\right)=\frac{a}{1-ix}+\frac{b}{1+ix}\\
\frac{2}{1+x^2}=\frac{a}{1-ix}+\frac{b}{1+ix}\\
a\left( 1-ix\right)+b\left( 1+ix\right)=2\\
 \begin{cases} -a+b=0 \\ a+b=2 \end{cases}\\
  \frac{2}{1+x^2}=\frac{1}{1-ix}+\frac{1}{1+ix}\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{i^{n}x^n}+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -i\right)^{n}x^{n} }\\
a_{n}=i^{n}+\left( -i\right)^{n}\\
\left| i\right|=1\\
\arg\left( i\right)=\frac{\pi}{2}\\
a_{n}=\cos{\left(  \frac{\pi}{2} \cdot n \right) }+i\sin{\left(  \frac{\pi}{2} \cdot n \right) }+\cos{\left(  \frac{\pi}{2}n \right) }-i\sin{\left(  \frac{\pi}{2} \cdot n  \right) }\\
a_{n}=2\cos{\left(  \frac{\pi}{2} \cdot n \right) }
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wariacje z powtorzeniami : wzor  hipero  3
 Ile monitorów można wybrać ?? jaki wzor?  Anonymous  1
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 zamiana ciagu rekurencyjnego na ogolny  eoor  1
 [zadanie] Rozwiąż równanie  My4tic  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl