szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 lis 2014, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 74
Lokalizacja: Zielonka
Zbiór liczb naturalnych od 1 do 99 podzielono na 33 podzbiory 3-elementowe, parami rozłączne. W obrębie każdego z tych podzbiorów wymnożono trzy liczby i otrzymano w ten sposób 33 liczby b _{1}, b _{2},...,b _{33}. Udowodnij, że iloczyn pewnych spośród tych liczb jest kwadratem liczby naturalnej.

Nie mam cienia pomysłu jak się do tego zabrać. Proszę o pomoc.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2014, o 11:33 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
No cóż - jak widać mój dosyć krótki pobyt na uczelni psuje takie zupełnie elementarne myślenie. Zresztą jutro kolokwium, trzeba przypomnieć sobie o co w tym galu chodzi.

Każdą z tych 33 liczb możemy przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych podniesionych do odpowiednich potęg. Widzimy, że interesują nas reszty w dzieleniu przez 2 tych wykładników. Jeśli jakieś liczby pomnożymy, to odpowiednie wykładniki się zsumują. Zatem na każdą z tych liczb możemy patrzeć jak na wektor
\left[
\begin{array}{}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\ \vdots \\ \alpha_{25}
\end{array}
\right]
gdzie współczynniki \alpha_{i} są wykładnikami przy kolejnych liczbach pierwszych które mogą wystąpić w rozkładzie na czynniki pierwsze (jest ich właśnie 25).
Widzimy więc, że teza zadania to odpowiedź pytanie czy układ pewnych 33 wektorów z przestrzeni liniowej \ZZ_{2}^{25} nad ciałem \ZZ_{2} jest liniowo zależny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2014, o 14:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3229
Lokalizacja: blisko
Wydaje mi się, że lepiej zadać pytanie czy istnieje takie k spełniające: 0< k, 3|k,k \le 33, że układ k wektorów jest liniowo zależny nad tym ciałem oczywiście!
Bo bierzemy po trzy liczby
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2014, o 15:46 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Nie bierzemy po trzy - pewne 33 trójki ktoś już wcześniej wybrał.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lis 2014, o 00:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3229
Lokalizacja: blisko
Suma współrzędnych każdego wektora raczej nie przekroczy chyba 3 mówię tu o sumie normalnej a nie w ciele zet dwa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lis 2014, o 08:48 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
arek1357 napisał(a):
Suma współrzędnych każdego wektora raczej nie przekroczy chyba 3
Wektor odpowiadający iloczynowi liczb 2,3,35 ma sumę współrzędnych 4. Poza tym nie wiem, po co Ci taki fakt. Nie widzę związku pomiędzy nim a tezą zadania.

Rozwiązanie Ponewora jest poprawne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lis 2014, o 12:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3229
Lokalizacja: blisko
Ja mówiłem o wektorze przedstawiającym liczbę naturalną od dwa do 99
a tam najwięcej różnych liczb pierwszych przemnożonych przez siebie może być trzy!


Oczywiście trójki liczb pomnożonych mogą mieć więcej jedynek.

Ale wymiar tej przestrzeni wynosi 25 czyli każda ilość wektorów większa niż 25
jest liniowo zależna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lis 2014, o 15:17 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Wracając do Twojej wypowiedzi,

arek1357 napisał(a):
Wydaje mi się, że lepiej zadać pytanie czy istnieje takie k spełniające: 0< k, 3|k,k \le 33, że układ k wektorów jest liniowo zależny nad tym ciałem oczywiście!

Powiedzmy, że k=33 jest dobre, tzn. układ 33 wektorów (ale których? jakichś ustalonych czy mogę sobie je wybrać?) jest liniowo zależny, bo na przykład znajdą się wśród trzydziestu trzech takie cztery wektory v_1,v_2,v_3,v_4, że v_1+v_2+v_3+v_4=0. Co dalej? Którędy w stronę rozwiązania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2014, o 12:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3229
Lokalizacja: blisko
Jeżeli jest liniowo zależny to wydaje mi się, że wtedy na pewno można wybrać jakiś układ, który jest kwadratem, tylko nie wiadomo który i jak wybrać ale wiadomo, że taki jest na pewno!

Ja np nie bardzo rozumiem idei podziały na te 33 grupy poco to do zadania.
Podział na 33 grupy nic nowego nie wnosi a układ 33 elementowy jest i tak zawsze liniowo zależny bo przestrzeń jest 25 wymiarowa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2014, o 17:19 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
33 grupy - 33 rozłączne równoliczne niepuste podzbiory są dane w treści zadania. To nie jest nasz wymysł.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2014, o 19:49 
Użytkownik

Posty: 166
Lokalizacja: Bytom
Czy dobrze rozumiem że zatem aby teza zadania pozostała prawdziwa wystarczy wziąć 78 liczb? (bo 78/3=26>25)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ile jest dzielnikow liczby  Anonymous  6
 ile jest liczb 2cyfr/3cyfr, 5cyfr o pocz 12, bez cyfr 4 i 5?  Anonymous  1
 permutacje/ile jest sposobow ustawien/ -prosba o sprawdzenie  alamakota  3
 ile jest liczb trzycyfrowych, mniejszych od 555  Anonymous  1
 Dany jest zbiór A={a,b,c,d}  Nanu  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl