szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2014, o 19:32 
Użytkownik

Posty: 3
Wykaż,że liczba: 7^{n+2}-2^{n+2}+7^{n+1}-2^{n+1} jest podzielna przez 10, jeżeli n jest liczbą naturalną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2014, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 170
Lokalizacja: Kraków
Musisz zapisać tę liczbę w postaci 10k, k \in \mathbb{C}.
Jakieś próby?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 27 lis 2014, o 19:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10595
Lokalizacja: Wrocław
W tej postaci już dla n=1 teza jest nieprawdziwa, patrz, co piszesz, bo w innym przypadku tracisz czas innych userów.
Napisz najpierw poprawną tezę, to potem pomyślimy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2014, o 19:39 
Użytkownik

Posty: 3
Jedyne do czego doszedłem to 7 ^{n}(49+7)-2 ^{n}(4+2), tylko czy jeżeli teraz pierwsza liczba jest podzielna przez 56, a druga przez 6, to mogę odjąć podzielniki? Wtedy wyszło by 50 i dowód skończony?

@up
Faktycznie w drugiej liczbie był bląd, wykładnik to (n+1), cała reszta jest poprawnie przepisana ze zbioru zadań
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2014, o 19:54 
Użytkownik

Posty: 170
Lokalizacja: Kraków
Jedyne co mi przychodzi do głowy, to z postaci 7^{n+1} \cdot 8 - 2^{n+1} \cdot 3 wykazanie, że cyfry jedności odjemnej i odjemnika są takie same. Wtedy ostatnią cyfrą różnicy będzie 0.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 27 lis 2014, o 19:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10595
Lokalizacja: Wrocław
Zauważmy następującą rzecz:
7 ^{4k}\equiv 1\pmod{10}, 7 ^{4k+1}\equiv 7\pmod{10}, 7 ^{4k+2}\equiv9\pmod{10}, 7 ^{4k+3} \equiv 3\pmod{10}.
Ponadto 2 ^{4k}\equiv 6\pmod{10}, 2 ^{4k+1}\equiv 2\pmod{10}, 2 ^{4k+2}\equiv 4\pmod{10}, 2 ^{4k+3}\equiv 8\pmod{10}
Możesz rozważyć oddzielnie przypadki n=4k+1, n=4k+2, n=4k+3, n=4k. A jeśli nie chcesz skorzystać z tych wskazówek, to zrób dowód indukcyjny.
Wszędzie k \in \NN^{+}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2014, o 20:19 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
Inny sposób.
Łatwo zauważyć, że dla dowolnej liczby naturalnej k liczba 7^{k} - 2^{k} ma cyfrę jedności równą 5. Otóż 7^{k} - 2^{k} = (7-2)(7^{k-1} +7^{k-2}\cdot2+...+2^{k-1})=5(7^{k-1} +7^{k-2}\cdot2+...+2^{k-1}) Nie ciężko jest zauważyć też, że liczba w nawiasie jest nieparzysta, co dowodzi powyższego stwierdzenia. Suma dwóch takich liczb jest zatem podzielna przez 10 co również jest dość proste do spostrzeżenia jak i formalnego udowodnienia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2014, o 21:41 
Użytkownik

Posty: 3
Mam tylko pytanie, bo Zahion, wyjaśnił to na tyle, że rozumiem, tylko co należy podstawić w miejsce 3 kropek w nawiasie? Chodzi o takie wyrażenie, żeby po przemnożeniu nawiasów wyszło 7 ^{k}-2 ^{k}?Czyli co powinno się tam znajdować
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2014, o 21:47 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
Napisałem Ci odpowiedz na PRIV. W razie dalszych problemów pisz.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Liczba nie jest podzielna przez...  claher  1
 Jak wykazać że liczba jest podzielna przez 5  Wrochnix  3
 Wykaż podzielność liczby postaci n^3-n przez 3.  91patii  2
 Podzielność przez 43 - zadanie 2  WhiteRabbit7  4
 Podzielność liczby całkowitej przez 3  shep4rd  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl