szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 11:56 
Użytkownik

Posty: 42
Lokalizacja: Warszawa
Chciałbym, żebyście sprawdzili, czy dobrze wykonuje badanie przebiegu zmienności funkcji np. dla:
f(x)=2+ \frac{1}{\left( x-3\right)^{2} }

Zamieniam na drugą postać, może się przyda:
2+ \frac{1}{\left( x-3\right)^{2} }= \frac{2\left( x-3\right)^{2}+1 }{\left( x-3\right)^{2} }= \frac{2x^{2}-12x+19}{x^{2}-6x+9}

1. Określam dziedzinę.

D_{f}=R-\left\{ 3\right\}, bo x-3 \neq 0

2. Przecięcia z osiami OX i OY.

2+ \frac{1}{\left( x-3\right)^{2} }=0
\frac{1}{\left( x-3\right)^{2} }=-2
1=-2\left( x^{2}-6x+9\right)
2x^{2}-12x+19=0
\Delta<0, więc brak przecięć z osią OX.

y=2+ \frac{1}{\left( -3\right)^{2} }
Przecięcie z osią OY: \left( 0, 2 \frac{1}{9} \right)

3. Określam asymptoty:

Pionowa:
\lim_{x \to  3^{ \pm } }\frac{2x^{2}-12x+19}{x^{2}-6x+9}=  \infty

Pozioma:
\lim_{x \to   \pm \infty } \frac{2x^{2}-12x+19}{x^{2}-6x+9}=2
Asymptota pionowa, to y=2. Ukośna, w takim razie, nie istnieje.
Pytanie: kiedy wiem, czy funkcja będzie na górze/dole tej asymptoty?

4. Pierwsza pochodna.

\left(  \frac{2x^{2}-12x+19}{\left( x-3\right)^{2} } \right)'= \frac{\left( 4x-12\right)\left( x-3\right)^2 -\left( 2x^{2}-12x+19\right)\left( 2x-6\right)   }{\left( x-3\right)^{4} }= \frac{-2}{\left( x-3\right)^{3} }
\frac{-2}{\left( x-3\right)^{3} } = 0
-2\left( x-3\right)^{3}=0
Czyli pierwsza pochodna jest dodatnia w przedziale \left( - \infty ,3\right) i ujemna w \left( 3, \infty \right) .

5. Druga pochodna
\left( \frac{-2}{\left( x-3\right)^{3} }\right)'= \frac{6 }{\left( x-3\right)^{4} }
6\left( x-3\right)^{4}=0

Czyli druga pochodna jest dodatnia w R-\left\{ 3\right\}.

6. Tabelka.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
& \left( - \infty ,3\right)  & 3 & \left( 3, \infty \right) \\
f''(x) & + & ? & + \\
f'(x) & + & ? & - \\
f(x) & rosnąca i wypukła & ? & malejąca i wypukła
\end{tabular}

Co powinienem wpisać w miejsca znaków zapytania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 12:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1219
1. Przecięcie z osią OX - nie podoba mi się.

2. Wykres funkcji w pierwszych linijkach - zjedzone x.

4. Asymptoty są OK.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 12:27 
Użytkownik

Posty: 42
Lokalizacja: Warszawa
1. Chyba nie widzę błędu, ale możesz mnie wyprowadzić na prostą :P

2. Gdzie to x zjedzone?

4. Nice, a reszta? :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 12:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1219
Mieszek napisał(a):
2. Gdzie to x zjedzone?

Mózgojady w mojej głowie je zjadły...

Jeśli chodzi o przecięcie z osią OX, to Twój zapis oznacza, że na odcinku \left( 0, 2 \frac{1}{9} \right) funkcja jest zerowa. Chyba chciałeś wąsy napisać i nie z osią OX, tylko z osią OY, bo z osią OX, to jak słusznie napisałeś - nie ma przecięć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 12:41 
Użytkownik

Posty: 42
Lokalizacja: Warszawa
Zapis ma oznaczać współrzędne punktu przecięcia :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 12:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1219
Mieszek napisał(a):
Czyli pierwsza pochodna jest dodatnia w przedziale \left( - \infty ,3\right) i ujemna w \left( 3, \infty \right) . A 3, to ekstremum.

Chwila moment... jeszcze raz, gdzie jest ekstremum?... Żeby funkcja miała ekstremum gdzieś, to musi być w jego otoczeniu określona, nie?

-- 30 lis 2014, o 12:43 --

Mieszek napisał(a):
Zapis ma oznaczać współrzędne punktu przecięcia :P

No dooobra, niech Ci będzie :)

Ale popraw, że z osią OY, a nie OX.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 12:49 
Użytkownik

Posty: 42
Lokalizacja: Warszawa
Nie zrozumiałem co napisałeś, ALE właśnie mi uświadomiłeś, że to co napisałem w sumie nie bardzo ma sens, bo 3 nie należy do dziedziny, i tyle było zachodu :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 14:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1219
O właśnie - to chciałem Ci powiedzieć :)

To spróbuj teraz poprawić swój post tak, żeby było dobrze, ok? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 15:29 
Użytkownik

Posty: 42
Lokalizacja: Warszawa
Już chyba wszystko w porządku, tak? Odsyłam jeszcze do pytania na koniec trzeciego i szóstego punktu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 18:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1219
Kiedy będzie na górze/dole asymptoty?

Jak masz np. asymptotę poziomą y = m, to sprawdzasz dla jakich x-ów zachodzi nierówność f(x) > m, odpowiednio f(x) < m, żeby dowiedzieć się, kiedy jest na górze, odpowiednio na dole.

Nie bardzo rozumiem, co chciałbyś tam wpisać, tzn nie spotkałem się nigdy z taką tabelką i nie wiem, jakie własności funkcji powinny się znaleźć w miejscach ?.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Badanie przebiegu zmienności funkcji - zadanie 4  Sycylijczyk89  6
 badanie przebiegu zmienności funkcji - zadanie 5  asiak15  3
 Badanie przebiegu zmienności funkcji - zadanie 16  Lucas177  1
 Badanie przebiegu zmienności funkcji - zadanie 22  Kokon89  1
 Badanie przebiegu zmienności funkcji - zadanie 26  jonczyk89  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl