szukanie zaawansowane
 [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 13:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3492
Lokalizacja: blisko
Jak w temacie:

f(0)=0, f(1)=1

f(x+2)=f(x+1)+f(x) , x \in R
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 14:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Napisz funkcję tworzącą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 15:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3492
Lokalizacja: blisko
A jaką?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 18:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Ciągu Fibonacciego :D Jeżeli

F(x) = \sum_k f_k x^k,

to jakie równanie spełnia F(x)? Wskazówka: tu chodzi o zależność rekurencyjną z Twojego pierwszego postu. I źle napisałeś definicję, bo ona jest prawdziwa dla x \in \mathbb N, a nie rzeczywistego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 18:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3492
Lokalizacja: blisko
No właśnie chodziło mi o rzeczywiste a nie Fibonacciego
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 lis 2014, o 20:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
W takim razie ile Twoim zdaniem wynosi F(1/2)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2014, o 09:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3492
Lokalizacja: blisko
Mi chodziło o coś więcej czy można w dziedzinie rzeczywistej rozwiązać to równanie, czy są jakieś uogólnienia tego wzoru na przypadek rzeczywisty coś w rodzaju jak jest uogólnienie silni za pomocą funkcji gamma.
Bo jak się tworzy ciąg Fibonacciego jego wzór ogólny i rekurencyjny funkcje tworzące to ja raczej znam, ja się zastanawiałem nad przejściem do szerszej dziedziny.
I nawet nie chodzi tylko o wzór fibonacciego może być inna rekurencja, którą rozszerzamy z dziedziny naturalnej do rzeczywistej i otrzymujemy coś więcej lub nic.
Np:

a_{n+1}=a_{n}+n^2
Możemy to równanie sobie zamieniać na wzór jawny i to nie jest dla mnie trudnością.
Ale jeśli rozszerzymy dziedzinę do rzeczywistych to otrzymamy:

f(x+1)=f(x)+x^2

A teraz będzie czy nie będzie rozwiązanie a może rozwiązań będzie więcej niż dla naturalnych ...

Takich przykładów można mnożyć i można zastanawiać się kiedy to rozwiązanie jest a kiedy nie ma!
W takim aspekcie ja ten problem rozpatruję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2014, o 09:27 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
arek1357 napisał(a):
f(0)=0, f(1)=1

f(x+2)=f(x+1)+f(x) , x \in R

Jeśli zadasz warunek brzegowy, na przykład ustalając wartość f(x) dla wszystkich x\in[0,2), to wtedy będziesz miał jednoznaczne rozwiązanie. Przy tym warunku, który zadałeś, przestrzeń rozwiązań jest continuum-wymiarowa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2014, o 09:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3492
Lokalizacja: blisko
To znaczy, że chodzi ci o to iż funkcja będzie stała na przedziale [0,2)
i czemu continuum czy tych funkcji będzie aż tyle to wypisz kilka heh...

-- 1 grudnia 2014, 09:32 --

No jeśli różnica między dwiema funkcjami będzie liczbą rzeczywistą to jasne że continuum ale to i tak niewielka różnica większa różnica jak będzie się różnić np potęgą przy x
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2014, o 11:28 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4977
Lokalizacja: Kraków
Musisz podać warunek początkowy, to jest f(t) dla t\in [0,2)
Ponadto, rozwiązań jest tyle ile funkcji [0,2)\to \RR, czyli sporo.
Pytanie czy istnieje jakieś ładne rozwiązanie, np. wypukłe. To jest dopiero ciekawe pytanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2014, o 13:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1229
Natomiast co do oryginalnego pytania z pierwszego postu... nie trzeba wcale liczyć funkcjami tworzącymi, można zdiagonalizować odpowiednią macierz kwadratową, też powinno wyjść ładnie. Przy czym nie mówię, że to jest lepsze, czy głupsze rozwiązanie - podaje jeszcze inną możliwość. Można też napisać równanie charakterystyczne tej rekurencji i otrzymać wzór jawny (ale to równanie właśnie się bierze ze sposobu macierzowego... przynajmniej ja tak to widzę...)

Jak wyznaczysz wzór jawny, to dostaniesz funkcję określoną na liczbach naturalnych. Wtedy będziesz mógł się zastanowić, co zrobić z tymi dziurami, bo o to pytasz, tak? Czy można napisać jakąś ładną funkcję, która na argumentach naturalnych będzie przyjmowała kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2014, o 13:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3492
Lokalizacja: blisko
No to niech ktoś rzuci jakiś konkretny przykład funkcji spełniających tę zależność jeden jedyny z całego continuum

Właśnie chodzi o zapełnienie dziur.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2014, o 14:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1229
arek1357 napisał(a):
No to niech ktoś rzuci jakiś konkretny przykład funkcji spełniających tę zależność jeden jedyny z całego continuum

Ściślej rzecz biorąc, to z całego 2^{|\amtbb{R}|} - funkcja, to zbiór par...

Ale dobra, masz wzór Bineta:

F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n.

Np f(x) = \begin{cases} F_n, \ \hbox{gdy n jest naturalna} \\
                                        0,      \ \hbox{w pozostałych przypadkach}
                     \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2014, o 15:51 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Zordon napisał(a):
Pytanie czy istnieje jakieś ładne rozwiązanie, np. wypukłe.

f(x)=\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^x

arek1357 napisał(a):
No to niech ktoś rzuci jakiś konkretny przykład funkcji spełniających tę zależność jeden jedyny z całego continuum

A czy ktoś tu pisał, że jest ich \mathfrak{c}? Tych funkcji jest 2^{\mathfrak{c}}. Dokładnie tyle, ile funkcji [0,2)\to \RR.

jutrvy napisał(a):
Np f(x) = \begin{cases} F_n, \ \hbox{gdy n jest naturalna} \\
                                        0,      \ \hbox{w pozostałych przypadkach}
                     \end{cases}

W pierwszym przypadku oczywiście n całkowita, niekoniecznie naturalna.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 gru 2014, o 19:30 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7984
Lokalizacja: Wrocław
norwimaj napisał(a):
f(x)=\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^x


Tak łatwo to nie ma! f(1) się nie zgadza - miało być równe 1.

Rozwiązań wypukłych nie ma z prostej przyczyny - bo f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 1 i już ta trójka przeczy wypukłości.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji  pangucio  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl