szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2014, o 09:38 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17287
Lokalizacja: Cieszyn
W nawiązaniu do tego tematu: 376631.htm postanowiłem napisać kilka słów o operatorze różnicowym i jego zastosowaniu do obliczania sum.

Niech f:\RR\to\RR. Określamy \Delta_h f(x)=\Delta_h^1 f(x)=f(x+h)-f(x). Teraz rozważamy iteracje \Delta_h^{n+1}f(x)=\Delta\bigl(\Delta_h^n f(x)\bigr). Tym sposobem np.

\begin{aligned}
 \Delta_h^2 f(x)&=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)\,,\\[1ex]
 \Delta_h^3 f(x)&=f(x+3h)-3f(x+2h)+3f(x+h)-f(x)\,.
\end{aligned}

Można indukcyjnie udowodnić, że

\Delta_h^n f(x)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^{n-k} f(k+kh)\,.

Wstawiając odpowiednio dobraną funkcję f, argument x oraz przyrost h, można otrzymać różne ciekawe sumy. Opieramy się na prostym fakcie: jeśli n>m oraz f(x)=x^m, to \Delta_h^nf(x)=0. Natomiast dla f(x)=x^n jest \Delta_h^n f(x)=n!. Sprawdzenie pozostawiam zainteresowanym Czytelnikom.

Niech teraz f(x)=x^n,x=0,h=1. Stąd

\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^n=n!\,.

Dla i=0,1,\dots,n-1 oraz f(x)=x^i,x=0,h=1 jest

\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^i=0\,.

Pokazanie dalszych ciekawych sum, które można otrzymać operatorem różnicowym, również pozostawiam Czytelnikom.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Operator różnicowy - zadanie 3  kuba121  4
 operator różnicowy - zadanie 2  natkoza  1
 Operator różnicowy - zadanie 4  timus221  13
 Operator różnicowy - zadanie 5  KtoWie  1
 poprawnie zdef. ciągły operator liniowy  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com