szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 cze 2007, o 18:27 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Wrocław
Prosze o rozwiazanie zad (nie iwem czy w dobrym temacie je umiescilam):
Uzasadnij, że liczba 1+ √7 jest liczba niewymierna (przepraszam :)). Z gory dzieki za pomoc :).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 cze 2007, o 18:35 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2702
Lokalizacja: Olsztyn/Berlin
1+\sqrt{7} nie jest wymierna.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 cze 2007, o 18:43 
Użytkownik

Posty: 136
Lokalizacja: Warszawa
No to udowodnimy coś innego, ale za to prawdziwego, czyli że 1+\sqrt{7} jest NIEwymierne. No bo przypuśćmy przeciwnie, że jest wymierne. Wtedy \sqrt{7} byłoby wymierne, czyli postaci \sqrt{7}=\frac{p}{q}, gdzie p i q to względnie pierwsze liczby całkowite. Mamy wtedy: 7q^2=p^2.
Niech q ma postać q=7^n \cdot m, gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą, a m liczbą naturalną niepodzielną przez 7. Wtedy 7q^2 dzieli się przez 7^{1+2n}, czyli p^2 dzieli się przez 7^{1+2n}, czyli też przez 7^{2+2n}.
Podzielmy sobie stronami równanie
7q^2=p^2
przez 7^{1+2n} i otrzymujemy:
m^2=7\cdot a, gdzie a jest liczbą naturalną. Ale to sprzeczność, bo m jest niepodzielne przez 7.
Zatem nie może być 1+\sqrt{7}\in \mathbb{Q}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2007, o 18:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1094
Lokalizacja: Olesno
Albo mozna tez tak :arrow:
x=\sqrt7 \wedge x=-\sqrt7 jest pierwiastkiem wielomianu x^2 - 7 = 0, ale wymiernymi pierwiastkami wielomianu moze byc jedynie x = \pm 1 \wedge x=\pm 7 zatem \sqrt7 musi byc niewym.
:wink: :razz:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wymierność liczb - zadanie 2  stanzil  1
 Suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych.  celia11  2
 Ile jest liczb naturalnych - zadanie 3  Dario1  2
 Uzasadnij cechy podzielności liczb naturalnych przez:  Spokojny_  2
 Suma liczb pierwszych - zadanie 2  soulforged  11
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl