szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 gru 2014, o 09:37 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Lublin
Udowodnij, że liczba 37 ^{4}-1 jest wielokrotnością liczby 10. (w poprzednich przykładach korzystaliśmy z indukcji)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2014, o 10:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10561
Lokalizacja: Wrocław
No bez jaj, tutaj indukcja byłaby bardzo na siłę, chyba że ktoś chciałby sformułować jakieś uogólnienie.
Pokaż, że ta liczba dzieli się przez 2 i przez 5. 37^{4} jest liczbą nieparzystą, więc 37^{4}-1...
A podzielność przez 5 uzyskujesz np. z kongruencji lub ze wzoru dwumianowego Newtona (37^{4}=(35+2)^{4}). Alternatywnie można od razu całość cisnąć z kongruencji lub Newtona (to drugie: 37=40-3).
Pobaw się moim łatwiutkim uogólnieniem: niech n będzie liczbą naturalną nieparzystą. Wówczas n^{4}-1\equiv 0\pmod{10} (wskazówka: podzielność przez 2 trywialna, przez 5 można też pocisnąć z MTF, wyłączając przypadki liczb dzielących się przez 5 - dla nich teza nie działa, hehe).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 gru 2014, o 11:26 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Lublin
Dzięki bardzo;) na zajęciach miałam np. 37^{100}-37^{20} to było łatwo uogólnić, a tu pojawił się problem.
Popróbuje z MTF. ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2014, o 17:11 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2527
Lokalizacja: Bytom
Można zauważyć, że liczba 7^4 ma na końcu jedynkę, wtedy 37^4 tak samo, więc 37^4-1 ma na końcu zero, dlatego dzieli się przez 10.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2014, o 19:48 
Gość Specjalny

Posty: 3009
Lokalizacja: Gołąb
Dowód przez obliczenie:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=37%5E4-1
:D :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 gru 2014, o 20:40 
Użytkownik

Posty: 928
Lokalizacja: Całkonacja
37^4-1=(37^2-1)(37^2+1)=(37-1)(37+1)(37^2+1)=36\cdot 38 \cdot (37^2+1)=36\cdot 38 \cdot 1370

:D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl