szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2014, o 10:37 
Użytkownik

Posty: 83
Lokalizacja: Warszawa
Dany jest okrąg o _{0} równaniu (x-3) ^{2}+(y-1) ^{2} =1.
W pierwszej "ćwiartce" układu współrzędnych istnieją dwa okręgi o _{1} i o _{2} stycznie zewnętrznie do okręgu o _{0} i jednocześnie styczne do osi układu współrzędnych. oblicz odległość srodków okregów.

Jedne widzę, drugiego nijak
(x-1) ^{2}+(y-1) ^{2} =1
(x-9) ^{2}+(y-9) ^{2}=81 =9 ^{2}

Czyli odległość między nimi to 64

Ale to jest metoda prób i błędów, a nie mam pojęcia jak to udowodnić analitycznie.
Jak się do tego zabrać, bardzo prosze o pomoc.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2014, o 13:22 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Mój pomysł jest trochę nieformalny, ale rozwiązanie bardzo syntetyczne.

Niech r oznacza długość promienia szukanego okręgu (otrzymamy jednocześnie dwa różne, więc i dwa rozwiązania). Warto zauważyć na początku, że r\ge 1 (w przeciwnym razie nie byłoby styczności zarówno z okręgiem o_0 jak i z osiami układu).

Skoro okrąg leży w I ćwiartce układu i jest styczny do obu osi układu współrzędnych, to jego środek ma współrzędne (r,r).

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny (w jednym przypadku będzie on zdegenerowany do odcinka) o wierzchołkach w punktach (r,1),(3,1),(r,r).
Jego przyprostokątne mają długość r-1,|3-r|, a przeciwprostokątna, wobec zewnętrznej styczności szukanego i danego okręgu o_0, ma długość r+1.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa łatwo dostajemy r=1, r=9.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 proste i okręgi, pole trójkąta  mateusz.ex  1
 płaszczyzny styczne  Natasha  0
 Dwa okręgi - zadanie 2  Fundak  1
 styczne do okręgu - zadanie 20  kata189  1
 Płaszczyzny normalne i styczne do krzywych  rubik1990  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl