szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 gru 2014, o 12:36 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Wrocław
Mam wyznaczyć następującą sumę, korzystając właśnie z wzoru dwumianowego Newtona:

\sum_{i=0}^{n} i  \cdot {n \choose i}

Wolfram|Alpha podpowiada mi, że wynik to
2^{n-1}  \cdot n
ale nie umiem dojść do tego, jak zapisać tę liczbę jako (x+y)^{n} (bo o to właśnie w tym zadaniu chodzi)...
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 gru 2014, o 12:41 
Użytkownik

Posty: 1568
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Zauważ, że

\sum_{i=0}^{n} i \cdot {n \choose i}x^{i-1} = \left( \sum_{i=0}^{n}  {n \choose i}x^i\right)'
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 gru 2014, o 13:04 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Wrocław
Wydaje mi się, że rozumiem tę równość, czy jednak nie ma jakiegoś prostszego rozumowania? Zadanie jest z logiki i struktur formalnych. Jako wskazówkę do podpunktu podano:

„Skorzystaj z tego, że {n \choose i} = {n \choose n-i} ”.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 gru 2014, o 13:10 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jest dzikie mnóstwo sposobów by dowieść żądanej równości.

Jeśli chcesz użyć podanej wskazówki, to można tak - niech:
S= \sum_{i=0}^{n} i \cdot \binom ni

Z uwagi na to, że jeśli i zmienia się od 0 do n to także n-i zmienia się od 0 do n mamy:
S= \sum_{i=0}^{n} (n-i)\cdot \binom{n}{n-i}=\sum_{i=0}^{n} (n-i)\cdot \binom{n}{i}

Dodanie stronami dwóch powyższych równości daje:
2S= \sum_{i=0}^{n} n\cdot \binom{n}{i} = n\sum_{i=0}^{n} \cdot \binom{n}{i}=n2^n
skąd natychmiast wynika żądana równość.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 gru 2014, o 13:54 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Wrocław
I to już mnie bardzo przekonuje. Dziękuję za pomoc!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 symbol newtona - zadanie 12  zielono_mi  1
 Dwumian Newtona - zadanie 50  MakCis  1
 Dwumian Newtona - oblicz wartość wyrażenia  JarTSW  1
 Dwumian Newtona obliczyć  sodu  12
 Kolejność symboli Newtona  Harry Xin  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl