szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2014, o 10:48 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Witam wszystkich serdecznie.

Szukam wzoru na obliczenie pewnego wymiaru, a że jestem kompletnie zielony z matmy to bardzo proszę Was o pomoc.

Obrazek
Znane są a, h i R.
Szukam wzoru na x.

W praktyce wygląda to np tak:
a- 60mm
h- 30mm
R- 500mm
Pewnie jest na to prosty wzór (tylko ja słabo temat ogarniam), ale jeśli nie, a jest możliwość jego uproszczenia, to tak naprawdę potrzebuję dokładności do ~5mm.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2014, o 11:39 
Użytkownik

Posty: 2340
Lokalizacja: Warszawa
Gdzie jest środek tego okręgu? - Sam promień nie wystarczy. Wyobraź sobie, że masz pasek o wysokości h z ciasta na pierogi. Chcesz odciąć szklanką o promieniu R kawałek taki, żeby dolny bok był równy a. Wymiar x będzie zależał od tego, gdzie umieścisz środek szklanki.

:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2014, o 12:09 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Racja.
Całość wygląda tak:
Obrazek

DN i D są znane.
Rzeczywisty przykład:
DN- 500mm
D- 620mm
R- 500mm
h- 30mm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2014, o 12:25 
Użytkownik

Posty: 2340
Lokalizacja: Warszawa
A gdzie jest iks na tym rysunku?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2014, o 12:50 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Sorki. Widziałem ten rysunek już setki razy i automatycznie złożyłem sobie w głowie rysunek z pierwszego posta i następnego.

Dla czytelności zamieszczam jeszcze jeden rys.
Obrazek
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2014, o 17:50 
Użytkownik

Posty: 2340
Lokalizacja: Warszawa
Mówisz:
Cytuj:
jestem kompletnie zielony z matmy


więc podam gotowy wzór

Oznaczmy

DN=d

x=a+ \frac{1}{2}d- \sqrt{ \frac{1}{4} d^2-h^2-2 \sqrt{R^2- \frac{1}{4}d^2 } }

Chyba, że się gdzieś rąbnąłem... :)

Na liczbach Ci nie zrobię, bo nie napisałeś, ile to jest a (w milimetrach). :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 gru 2014, o 07:15 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
wow. Dzięki. Zaraz sprawdzę czy to działa :)

a=(D-DN)/2
czyli tak jak w pierwszym poście, w przykładzie
a=60mm

Cytuj:
więc podam gotowy wzór

Żeby się czegoś nowego nauczyć chętnie poznam jak do tego dojść :) O ile oczywiście nie stanowiłoby to dla Pana problemu, żeby to rozpisać.

EDIT:

Niestety coś nie pasuje. Rozrysowałem sobie przykład w CADzie 1:1 i wyszło tak:
x \approx 121,27mm
Obrazek

Natomiast ze wzoru wyszło mi x \approx 63,56mm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 gru 2014, o 10:12 
Użytkownik

Posty: 709
Najpierw policzymy wsp. środka okręgu (x_0,y_0). Z symetrii rysunku zakładam, że x_0=a+{DN}/2

Mamy dwa punkty na okręgu (a,0) oraz (x,h) (rysunek umieszczę na życzenie)
Z równania okręgu dostajemy (a-x_0)^2+y_0^2=R^2  \Rightarrow y_0=-\frac{\sqrt{4R^2-{DN}^2}}{2}

I teraz liczymy drugi punkt

\left(x-a-\frac{DN}{2}\right)^2+\left(h+\sqrt{\frac{4R^2-{DN}^2}{2}\right)^2=R^2

stąd

x=-\frac{\sqrt{-4h\sqrt{4R^2-DN^2}-4h^2+DN^2}-2a-DN}{2}

podstawiając dostajemy x \approx 121.27 \ mm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 gru 2014, o 10:31 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Przyłożyłem się bardziej do poszukania odpowiednich wzorów i udało mi się dojść do wyniku :)

Wykorzystałem to: http://matma4u.pl/topic/36919-kolo-i-jego-czesci-najwazniejsze-wzory/

c _{1}- długość dłuższej cięciwy = DN = 500mm
c _{2} - długość krótszej cięciwy (przedłużenie mojego szukanego x)
h _{1} - strzałka większego odcinka kołowego
h _{2} - strzałka mniejszego odcinka kołowego
h _{m} -> h moje = 30mm
r - promień

długość strzałki odcinka kołowego
h _{1} =r -  \frac{1}{2}  \sqrt{4r ^{2} - c _{1} { } ^{2} }

długość strzałki mniejszego odcinka kołowego
h _{2} =h _{1} - h _{m}

długość cięciwy mniejszego odcinka kołowego
c _{2} =2 \sqrt{2h _{2} r - h _{2} { } ^{2} }

moja niewiadoma
x= \frac{1}{2}( D - c _{2})

całość
x= \frac{1}{2}( D - (2 \sqrt{2r((r -  \frac{1}{2}  \sqrt{4r ^{2} - c _{1} { } ^{2} }) - h _{m}) - ((r -  \frac{1}{2}  \sqrt{4r ^{2} - c _{1} { } ^{2} }) - h _{m})^{2} }))

Po połączeniu tego wszystkiego wychodzi kosmiczny (jak dla mnie) wzór, którego uprościć za bardzo nie potrafię (a raczej się boje, że go popsuje :P), ale na szczęście excel nie ma z tym problemów :)

Podstawiłem to wszystko do excela i wynik się zgadza.
Obrazek

EDIT: Widzę, że zanim napisałem posta ktoś mnie uprzedził z rozwiązaniem :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 gru 2014, o 10:45 
Użytkownik

Posty: 2340
Lokalizacja: Warszawa
Widać gdzieś się rąbnąłem... :(

A robiłem to tak:

Oznaczmy:
Q - punkt styczności odcinka a z okręgiem
P - punkt styczności odcinka x z okręgiem

1. W środku układu współrzędnych okrąg o promieniu R:

x^2+y^2=R^2

2. Cięciwa tego okręgu na wysokości H (nad środkiem okręgu) tak dobranej, żeby jej długość była równa \frac{1}{2}d

3. Liczę H z tw. Pitagorasa:
H^2=R^2- \left( \frac{1}{2}d\right)^2

4. Liczę różnicę iksowych współrzędnych punktów Q i P, czyli x _{Q}-x _{P}. Żeby to zrobić, liczę najpierw y _{P}

y _{P}=y _{Q}+h=H+h= \sqrt{R^2- \left( \frac{1}{2}d\right)^2}+h

Wstawiam to do równania okręgu i wyliczam x _{P}

x _{P}^2+y _{P}^2=R^2  \Rightarrow x _{P}^2= R^2-y _{P}^2

x _{P}^2= R^2-\left( \sqrt{R^2- \left( \frac{1}{2}d\right)^2}+h\right)^2

x _{Q}-x _{P}=  \frac{1}{2}d-x _{P}= \frac{1}{2}d- \sqrt{R^2-\left( \sqrt{R^2- \left( \frac{1}{2}d\right)^2}+h\right)^2}

i o tyle dłuższy jest odcinek x od odcinka a, zatem

x=a+ x _{Q}-x _{P}

x=a+\frac{1}{2}d- \sqrt{R^2-\left( \sqrt{R^2- \left( \frac{1}{2}d\right)^2}+h\right)^2}

Uprośćmy to, co pod pierwiastkiem:

x=a+\frac{1}{2}d-  \sqrt{ \frac{1}{4} d^2-h^2-2 \sqrt{R^2- \frac{1}{4}d^2 } }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 gru 2014, o 11:44 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Dzięki panowie. Nie wiedziałem jak się do tego zabrać, a teraz mam dwa różne wzory na to :)
Trzeci wzór (chronologicznie drugi) co prawda nie działa, ale dzięki temu sam również doszedłem do rozwiązania. Tylko może mniej elegancko ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyprowadzenie wzoru przebicia prostej z pi  ania6665  5
 wyznaczenie wzoru prostej  tomi140  4
 Wyprowadzenie wzoru na równanie stycznej  Drzewo18  1
 wyprowadzenie wzoru na odległość punktu od płaszczyzny  aGabi94  4
 Dwa punkty, znajdowanie wzoru funkcji  czartek70  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl