szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2015, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 274
Lokalizacja: Opole
Wykaż, że największy wspólny dzielnik dwóch sąsiednich liczb nieparzystych wynosi 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2015, o 20:05 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17855
Lokalizacja: Cieszyn
Zastosuj algorytm Euklidesa. Wystarczy jedno przejście.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2015, o 20:52 
Użytkownik

Posty: 274
Lokalizacja: Opole
Jakoś po wczorajszym SYLWESTRZE Algorytm Euklidesa mi nie wchodzi... może ktoś ma inny pomysł?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2015, o 20:54 
Gość Specjalny

Posty: 5469
Lokalizacja: Toruń
Z definicji liczysz \mathrm{gcd}, albo algorytmem Euklidesa; no jakoś to \mathrm{gcd} musisz i tak policzyć.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 sty 2015, o 20:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10605
Lokalizacja: Wrocław
Algorytm Euklidesa byłby tu mile widziany, ale nie jest konieczny. Załóżmy nie wprost, że jest taka liczba nieparzysta d>1, która dzieli pewne dwie kolejne liczby nieparzyste. A zatem ta mniejsza z owych liczb nieparzystych zapisuje się w postaci k\cdot d, a ta większa w postaci l\cdot d, gdzie l>k, l, k \in \ZZ. Co powiesz o podzielności ld-kd przez d? Ale tak właściwie to jaką liczbą jest ld-kd?? (bardzo konkretną, wszak kd i ld to dwie kolejne liczby nieparzyste, więc...). Postępowanie praktycznie identyczne jak na początku wykonywania algorytmu Euklidesa, więc w sumie, to nawet nie bardzo wiem, co piszę, idę spać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2015, o 21:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17855
Lokalizacja: Cieszyn
No właśnie: w algorytmie Euklidesa pierwsze odjęcie daje dwójkę i teraz mamy dwójkę i liczbę nieparzystą - koniec dowodu. Oczywiście w skrócie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2015, o 21:23 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
Wykażemy, że największy wspólny dzielnik dwóch sąsiednich liczb nieparzystych wynosi 1, co pociągnie za sobą tezę zadania. Załóżmy więcNWD(2n+1,2n+3)= d, d > 1. Wtedy d |(2n+3)-(2n+1)=2 tj. d|2 stąd d = 2, ale przecież z nieparzystości liczb wynika, że d  \neq 2k dla dowolnego k całkowitego dodatniego, stąd d = 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2015, o 21:41 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17855
Lokalizacja: Cieszyn
Tak. Nie trzeba jednak robić nie wprost. Nie zakładajmy, że d>1. Ponieważ nasze liczby są nieparzyste, to d\ne 2. Tak więc d=1 i po sprawie.

Zauważmy, że to właśnie przejście wykorzystywane jest w algorytmie Euklidesa.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Różnica cyfr pewnej liczby wynosi 5 ... Znajdź tę liczb  Tomasz B  4
 Zadanie z dowodem na sumę liczb naturalnych  scn  5
 podzielnosc liczb?  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl