szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2015, o 00:59 
Użytkownik

Posty: 1471
Lokalizacja: Trójmiasto
Szacowanie wartości pierwiastka dowolnej liczby rzeczywistej




\hline




Czasami zdarza się sytuacja, kiedy trzeba oszacować przybliżoną wartość pierwiastka z jakiejś liczby na przykład żeby stwierdzić, czy dane wyrażenie jest dodatnie czy ujemne, co ma istotne znaczenie między innymi przy rozwiązywaniu nierówności kiedy nie wiemy, czy obustronne mnożenie zmieni nam znak oraz przy liczeniu równań kwadratowych, gdzie trzeba ocenić ilość rozwiązań kiedy delta wychodzi brzydka. Przydaje się do tego twierdzenie, które kiedyś wywnioskowałem bawiąc się ciągami arytmetycznymi. Lata później jeden z użytkowników tego forum pomógł mi formalnie go dowieść i uznałem, że warto zamieścić je w kompendium. Nie opatentowałem go więc nie podpisuję się pod nim z nazwiska, ale prezentowane twierdzenie jest wyłącznie efektem moich prób i błędów.

\hline




Załóżmy, że znamy liczby, których pierwiastki są liczbami naturalnymi. Przynajmniej do pewnej wysokości każdy je zna, wypiszmy kilka początkowych:
\begin{array}{r|l}
a & \sqrt{a}\\
\hline
1 & 1 \\
4 & 2 \\
9 & 3 \\
16 & 4 \\
25 & 5 \\
36 & 6\end{array}

Nawet jeśli nie znamy dalszych, to kolejną można łatwo wyznaczyć z dwóch poprzednich. Oznaczając p_n = n^2 mamy zależność rekurencyjną:
\begin{cases}
p_1 = 1\\
p_2 = 4\\
p_n = 2p_{n-1} - p_{n-2} + 2\end{cases}

Powiedzmy, że chcemy oszacować wartość liczby \sqrt{x}. Musimy znaleźć największą liczbę pierwiastkowalną mniejszą od x.

Założenia:
\sqrt{x} = \sqrt{a+k}\\
a, k \in \RR \wedge a \ge 0 \wedge k \ge 0 \wedge \sqrt{a} \in \NN \\
\left(\sqrt{a} + 1\right)^2 \ge a+k

Wówczas możemy oszacować, że:
\sqrt{a} + \frac{k}{2\sqrt{a} + 1} \leqslant \sqrt{a+k} \leqslant \sqrt{a} + \frac{k}{2\sqrt{a}}

\hline




Dowód wyprowadził użytkownik JakimPL.

Prawa strona:

\begin{aligned}
\frac{k}{4a} &\geqslant 0\\ \frac{k}{4a}+1 & \geqslant 1\\ \frac{k^2}{4a}+k & \geqslant k\\ a+k+\frac{k^2}{4a} & \geqslant a+k\\ a+2\cdot\frac{k\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}+\frac{k^2}{4a} & \geqslant a+k\\ \left(\sqrt{a}\right)^2+2\cdot\sqrt{a}\cdot\frac{k}{2\sqrt{a}}+\left(\frac{k}{2\sqrt{a}}\right)^2 & \geqslant a+k\\ \left(\sqrt{a}+\frac{k}{2\sqrt{a}}\right)^2 & \geqslant a+k\\ \sqrt{a}+\frac{k}{2\sqrt{a}} & \geqslant \sqrt{a+k}\end{aligned}

Lewa strona:
\begin{aligned}
\left(\sqrt{a} + 1\right) ^ 2  & \geqslant a+k\\ a+2\sqrt{a}+1 & \geqslant a+k\\ 1+2\sqrt{a}-k & \geqslant 0\\ 1 & \geqslant \frac{k}{2\sqrt{a}+1}\\ k & \geqslant \frac{k^2}{2\sqrt{a}+1}\\ a+k & \geqslant a+\frac{k^2}{2\sqrt{a}+1}
\\
\frac{k^2}{\left(2 \sqrt{a}+1\right)^2}+\frac{2 \sqrt{a} k}{2 \sqrt{a}+1}-k  &  =\frac{k \left(-2 \sqrt{a}+k-1\right)}{\left(2 \sqrt{a}+1\right)^2}
\\
a+k & \geqslant a + 2\cdot\sqrt{a}\cdot\frac{k}{2\sqrt{a} + 1}+\frac{k^2}{(2\sqrt{a} + 1)^2}\\ a+k & \geqslant \left(\sqrt{a}\right)^2 + 2\cdot\sqrt{a}\cdot\frac{k}{2\sqrt{a} + 1}+\left(\frac{k}{2\sqrt{a} + 1}\right)^2\\ a+k & \geqslant \left(\sqrt{a} + \frac{k}{2\sqrt{a} + 1}\right)^2\\ \sqrt{a+k} & \geqslant \sqrt{a} + \frac{k}{2\sqrt{a} + 1}\end{aligned}

\hline




Oszacujmy \sqrt{19}:
\sqrt{19} = \sqrt{16 + 3}\\
a = 16, \quad k=3\\
\sqrt{16} + \frac{3}{2\sqrt{16} + 1} \le \sqrt{16+3} \le \sqrt{16} + \frac{3}{2\sqrt{16}}\\
4  \frac{3}{9} \le \sqrt{19} \le 4  \frac{3}{8}

Wynik z kalkulatora potwierdza to szacowanie:
4.(3) \le 4.3589 \le 4.375

Weźmy na warsztat większą liczbę, np. \sqrt{151}:
\sqrt{151} = \sqrt{144 + 7}\\
a = 144 , \quad k= 7\\
\sqrt{144} + \frac{7}{2\sqrt{144} + 1} \le \sqrt{144+7} \le \sqrt{144} + \frac{7}{2\sqrt{144}}\\
12  \frac{7}{25} \le \sqrt{151} \le 12  \frac{7}{24}

i porównanie z kalkulatorem:
12.28 \le 12.2882 \le 12.291(6)

\hline




Może nie jest to doskonała metoda szacowania, ale jak widać dokładność nie jest taka zła, szczególnie jak na coś, co można obliczyć na kartce bez użycia kalkulatora. Dokładność rośnie w miarę, jak rośnie liczba pod pierwiastkiem, a znajomość liczb pierwiastkowalnych przynajmniej do 225 to nic trudnego. Być może komuś się przyda moje twierdzenie.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 oszacowanie wartości podanej potęgi  rain228  4
 całka z pierwiastka - zadanie 17  tro1  4
 dla jakich wartości paramatru równanie ma rozwiązanie  gerla  1
 Pierwiastek z pierwiastka... Ale bardzo blisko wyniku  illwreakyabonez  4
 Zbiór wartości funkcji - dowód  piternet  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl