szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 sty 2015, o 15:49 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Kielce
Zadanie 1
Znaleźć liczbę 100-cyfrową bez zer w zapisie podzielną przez sumę swoich cyfr.

Zadanie 2
Znaleźć liczbę 99-cyfrową nieparzystą podzielną przez sumę swoich cyfr.

Bardzo proszę o rozwiązanie tych zadań, najlepiej dokładnie, krok po kroku.
Później ma to być użyte jako zadania do pracy z uczniami zdolnymi ze szkoły podstawowej/gimnazjum
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2015, o 15:58 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
2) Wezmy liczbę złożoną z kolejno dwóch jedynek i 96 zer, a na końcu jeszcze jedna jedynka. Suma cyfr to 1 + 1 + 1 = 3 i oczywiście liczba ta dzieli się przez 3
1) Niech N oznacza naszą liczbę ,wtedy N = (10^{99}a _{99}+...+ 10^{8}a_{8}) + (10^{7}a_{7} + 10^{6}a_{6} + ... + 10a_{1} + a_{0}) Zauważmy, że dla dowolnego n  \ge 8 mamy, że 256 = 2^{8} | 10^{n} = 2^{n} \cdot 5^{n}, stąd liczba N jest podzielna przez 256 wtedy i tylko wtedy gdy 256 | (10^{7}a_{7} + 10^{6}a_{6} + ... + 10a_{1} + a_{0}), oczywiście działamy dla 1 \le a_{i}  \le 9  \wedge  a_{i}  \in C, dla i = 0, 1,... 99. Dobierzmy więc liczby a_{7},...a_{0} kolejno jako (8,8,4,9,3,5,6,8), bo 256 | 88493568. Suma tych cyfr wynosi 8 + 8 + 4 + 9 + 3 + 5 + 6 + 8 = 51. Jako, że 256 - 51 = 205 wystarczy dobrać pozostałe 100 - 8  = 92 cyfr tak, ażeby ich suma wynosiła 205 Przykładowo, niech pierwsze 40cyfr to trójki, kolejne 30 cyfr to dwójki i kolejne 21 cyfr to jedynki i w końcu otatnia cyfra, czyli cyfra dziewiąta, to 4. Suma wynosi 40 \cdot 3 + 30 \cdot 2 + 21 + 4 = 120 + 60 + 25 = 205 i cyfr mamy 40 + 30 + 21 + 1 = 92..
Nasza liczba to
N _{1}  = (10^{99} \cdot 3 + ... + 10^{60} \cdot 3) + (10^{59} \cdot 2 + ... + 10^{30} \cdot 2 ) + ( 10^{29} + ... + 10^{9} ) + 10^{8} \cdot 4 + (10^{7} \cdot 8 + 10^{6} \cdot 8 +10^{5} \cdot 4 + 10^{4} \cdot 9 + 10^{3} \cdot 3 + 10^{2} \cdot 5 + 10^{1} \cdot 6 +  8)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 Dowód na poprawność zasady podzielności przez 9  magik100  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl