szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2015, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Kraków
Na ile sposobów można rozdzielić liczbę 4620 na iloczyn 4 liczb różnych od 1. Jej rozkład na czynniki pierwsze to 2^{2} \cdot  3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 Zauważyłem ze dla liczb których w których rozkładzie jest k liczb pierwszych w potędze pierwszej to wynik jest równy liczbie stirlinga 2 rodzaju(k,4). Jednak nie wiem jak uwzględnić liczby w których czynniki mają potęgi większe od 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2015, o 01:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Ja bym tak zrobił:

4 \cdot S(5,4)-x


Czyli:
Najpierw dzielę zbiór liczb: 2,3,5,7,11 - na cztery części,
potem do każdej części wrzucam dodatkową dwójkę na cztery sposoby(co daje nam cztery razy więcej przypadków), a potem odejmuję te co się powtarzają trzeba policzyć powtarzające się dlatego napisałem x podejrzewam, że ten x wynosi cztery ale do sprawdzenia.

Zadania z początku nie doceniłem i rozwiązywanie na kolanie nie do końca było jak należy.
Problem można rozszerzyć i wydaje się dość ciekawy więc do rzeczy:

Weźmy sobie cztery pojemniki:
Do pierwszego pojemnika włóżmy najpierw dwie dwójki czyli mamy:

|22|   \cup   \cup   \cup

kołyski oznaczają pojemniki!

Mamy cztery pojemniki w pierwszym są dwie dwójki a pozostałe są puste.

Zauważmy, że pierwszy pojemnik i trzy pozostałe są rozróżnialne , a trzy ostatnie są nierozróżnialne między sobą.

I teraz weźmy cztery liczby - 3,5,7,11

i rozmieśćmy je najpierw tak: zero w pierwszym pojemniku i cztery w trzech nierozróżnialnych pojemnikach sposoby:

{4 \choose 0}  \cdot L(4,3) =1 \cdot 6=6

Teraz weźmy do pierwszego pojemnika jedną liczbę a w trzech nierozróżnialnych trzy liczby sposobów:

{4 \choose 1}  \cdot L(3,3) =4 \cdot 1=4

Jak widać dalej tego rozumowania nie da się ciągnąć bo w trzech pojemnikach nierozróżnialnych jeden musiałby zostać pusty!

Teraz zróbmy tak, że do dwóch pojemników damy dwie dwójki a pozostałe puste czyli wygląda to tak:

|2|   |2 |   \cup    \cup

Jak widać dwa pierwsze pojemniki są między sobą nierozróżnialne a dwa ostatnie też między sobą nierozróżnialne a dwie grupy pojemników są między sobą rozróżnialne.
Teraz zacznijmy liczyć:

1) Weźmy zero liczb i wsadźmy do pierwszych dwóch a pozostałe wsadźmy do ostatnich dwóch pojemników i mamy:

{4 \choose 0}  \cdot L(4,2) =1 \cdot 7=7

2) Weźmy jedną liczbę i wsadźmy do pierwszych dwóch a pozostałe wsadźmy do ostatnich dwóch pojemników i mamy:

{4 \choose 1}  \cdot L(3,2)=4 \cdot 3=12

3) Weźmy dwie liczby i wsadźmy do pierwszych dwóch a pozostałe wsadźmy do ostatnich dwóch pojemników ale dwie liczby w pierwszych dwóch pojemnikach umieszczamy na zasadzie dwóch rozróżnialnych liczb w dwóch nierozróżnialnych pojemnikach i mamy:

{4 \choose 2}(L(2,1)+L(2,2))  \cdot L(2,2)=6 \cdot (1+1) \cdot 1=12

Na koniec powinniśmy to zsumować:

6+4+7+12+12=41

Oczywiście problem jest ciekawy ponieważ mamy obiekty podzielone na grupy nierozróżnialnych między sobą i pojemników , które są rozróżnialne i nierozróżnialne.
Oczywiście można to zadanie rozwinąć i poszerzyć np na większą liczbę dwójek dwójek i wtedy zadanie będzie bardziej widowiskowe.

-- 9 stycznia 2015, 11:49 --

Są tu rozkłady przedmiotów i obiektów nierozróżnialnych pomieszanych z liczbami Stirlinga czyli przedmiotami rozróżnialnymi a obiektami nierozróżnialnymi!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ile jest dzielnikow liczby  Anonymous  6
 ustawianie osob w rzedzie, liczby n-cyfrowe itp  Anonymous  16
 liczby podzielne  BSD  9
 liczby podzielne - zasada wlaczania i wylaczania  BSD  3
 Liczby Bella - pytanie[nowe]  author  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl