szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2015, o 20:32 
Użytkownik

Posty: 78
Cześć,
Uczę się kombinatoryki i proszę Was o sprawdzenie, czy poprawnie rozwiązałem poniższe zadania. Z góry bardzo dziękuję!

1) Na ile sposobów z talii 52 kart można wybrać 10 kart tak, aby był wśród nich dokładnie jeden as?
W talii są 4 asy, więc wybieram sobie 1 z nich i dopełniam zbiór wyborem 9 kart z wolnych 51 kart:
4  \cdot {51 \choose 9}

2) Sadzamy n osób przy okrągłym stole. Dwa rozsadzenia uważamy za identyczne, jeśli w obu przypadkach każdy człowiek ma tych samych sąsiadów. Ile jest możliwych sposobów rozsadzenia?
Każde ustawienie n osób ze zbioru { o_{1}, o_{2}, ..., o_{n} } przy okrągłym stole może być reprezentowane przez ciąg n elementowy, przy czym ciągi "przesunięte" uznajemy za takie same, bo przy okrągłym stole takie ustawienia (czyli kto obok kogo siedzi) będą wyglądały identycznie.
Więc wszystkich sposobów usadzenia n osób jest n!, przy czym musimy pozbyć się ustawień "przesuniętych", czyli n! - n jest końcową odpowiedzą.

3) Na ile sposobów można posadzić przy okrągłym stole n kobiet i n mężczyzn tak, aby żadne dwie osoby tej samej płci nie siedziały obok siebie? Dwa rozsadzenia uważamy za identyczne, jeśli w obu przypadkach każdy człowiek ma tych samych sąsiadów.
Podobnie jak zadanie powyżej, przy czym mamy ustalić liczbę możliwości zpermutowania ciągu (k_{1}, m_{1}, k_{2}, m_{2}, ..., k_{n}, m_{n}). Możemy zapisać to jako dwa odmienne ciągi, które musimy przepleść: (k_{1}, k_{2}, ..., k_{n}) i (m_{1}, m_{2}, ..., m_{n})
Możliwości ustawień każdego z dwóch ciągów jest n!, więc ustawień przeplecionych ciągów jest n!  \cdot n!. Tak jak w zadaniu wcześniejszym, musimy pamiętać o ciągach "przesuniętych", więc finalna odpowiedź to n!  \cdot n! - 2n.

4) Na ile sposobów spośród n małżeństw można wybrać jedną kobietę i jednego mężczyznę, którzy nie są małżeństwem?
Mamy 2 zbiory: kobiet i mężczyzn. Każdy z nich ma po n elementów. Najpierw wybieramy mężczyznę - możemy zrobić to na n sposobów. Teraz wybieramy kobietę, która nie jest jego żoną - czyli wybór zmniejszył się do n-1.
Odpowiedź brzmi: n(n-1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2015, o 20:52 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Poznań
1) W ten sposób możesz wybrać więcej niż 1 asa. Pozostałe 9 kart należy wybrać spośród tych, które nie są asami. Jest ich 48. Odpowiedzią jest zatem 4 \cdot  {48 \choose 9}.
2) Wszystkich możliwych ciągów jest n!. Dla każdego posadzenia przy okrągłym stole istnieje n ciągów reprezentujących to ustawienie ("przesuniętych"). Odpowiedzią jest więc \frac{n!}{n} = (n-1)!.
3) Podobny błąd jak w 2).
4) Poprawnie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 11:32 
Użytkownik

Posty: 59
Lokalizacja: polska
Czy w drugim nie powinno być przypadkiem \frac{n!}{2n}= \frac{(n-1)!}{2} ??? Bo np dla trzech osób przy stole jest jedno usadzenie:
Jesli osoby mają nr: 1,2,3 i chodzi o sasiadów takich samych(nieważne po której stronie danej osoby siedzą) to te 6 ustawien które wypisane na dole jest jednakowe.
Chyba, że rozróżniamy o to jaki sąsiad jest po prawej stronie a jaki po lewej to się zgadzam z odp (n-1)!

\begin{matrix}
1 & &2\\ 
  &3&  
\end{matrix}\ |\ \ \ \ \begin{matrix}
1 & &3\\ 
  &2&  
\end{matrix}\ |\ \ \ \ \begin{matrix}
2 & &1\\ 
  &3&  
\end{matrix}\ |\ \ \ \ \begin{matrix}
3 & &1\\ 
  &2&  
\end{matrix}\ |\ \ \ \ \begin{matrix}
2& &3\\ 
  &1&  
\end{matrix}\ |\ \ \ \ \begin{matrix}
3 & &2\\ 
  &1&  
\end{matrix}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 15:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Wzór na permutacje koralikowe czyli ilość cykli n elementowych to:

(n-1)!
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 16:46 
Użytkownik

Posty: 59
Lokalizacja: polska
arek1357 napisał(a):
Wzór na permutacje koralikowe czyli ilość cykli n elementowych to:

(n-1)!

Arek1357 i co w związku z tym, że mamy taki wzór ???? Moje rozumowanie jest złe? dobre?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2015, o 10:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
No to właśnie to jest do drugiego zadania
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 modulo - dobrze rozwiazalem?  pkej  6
 Rozwiąż kongruencję (czy to jest dobrze?)  ocho  2
 Zbiór Liczb od 1-9(Chcę się upewnić czy dobrze)  Kvk  5
 Talia kart i słowo - czy dobrze?  Giks  2
 potwierdzenie w zadaniu czy dobrze rozw.  Rockefeller  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl