szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2015, o 21:26 
Użytkownik

Posty: 274
Lokalizacja: Opole
Wykaż, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których środkowa jest sześcianem liczby naturalnej większej od 1, jest podzielny przez 504. Możliwie bez kongurencji :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2015, o 21:41 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
504=7\cdot8\cdot9
Musisz oddzielnie wykazać, że liczba (n^{3}-1)n^{3}(n^{3}+1) jest podzielna osobno przez każdą z tych liczb, ze względu na to, że są one względnie pierwsze.
Od razu dodam, że podzielność przez 8,9 nie powinna stanowić problemu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2015, o 21:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3367
Lokalizacja: Krk
W razie problemów możesz osobo rozpatrzeć parzyste i nieparzyste.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2015, o 21:49 
Użytkownik

Posty: 22490
Lokalizacja: piaski
Tylko środkowa miała być sześcianem.

[edit] Już poprawione.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2015, o 21:58 
Użytkownik

Posty: 274
Lokalizacja: Opole
Na razie widzę tylko podzielność przez 6... szukam dalej :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2015, o 22:06 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
Rozpatruj kolejno podzielności przez 8,9,7. Od najprostszej do najcięższej według mnie, nie ma sensu bawić się w podzielność przez 6.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2015, o 22:09 
Użytkownik

Posty: 274
Lokalizacja: Opole
Po ciężkich bojach dostrzegłem podzielność przez 7... czyli mam już podzielność przez 42. Więcej chyba już nie zdołam bez pomocy zobaczyć...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2015, o 22:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3367
Lokalizacja: Krk
Jak wygląda ten twój iloczyn?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 9 sty 2015, o 22:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10605
Lokalizacja: Wrocław
Podzielność przez 8: jeśli ta środkowa liczba jest parzysta, to jako że jest sześcianem liczby całkowitej, jest też sześcianem liczby całkowitej parzystej, a więc jest podzielna przez 8. Zaś w przeciwnym wypadku "skrajne" liczby są obie parzyste; wówczas są one dwiema kolejnymi liczbami parzystymi, a więc jedna z nich jest podzielna przez 4.
Podzielność przez 9: jeżeli środkowa liczba dzieli się przez 3, to... [rozumowanie jak z dwójką].
W przeciwnym wypadku któraś z liczbn^{3}-1, n^{3}+1 dzieli się przez 3. Jeżeli n daje resztę 1 z dzielenia przez 3, to możemy zapisać n^{3}-1=(n-1)(n^{2}+n+1) i sprawdzić bezpośrednim rachunkiem na resztach, że oba te czynniki są podzielne przez 3, stąd podzielność przez 9. Jeżeli zaś n daje resztę 2 z dzielenia przez 3, to n^{2} daje resztę 1 z dzielenia przez 3 i jako że n^{3}+1=(n+1)(n^{2}-n+1), to...
Akurat siódemka wydaje się najbardziej żmudna, chyba że ktoś wyjedzie z alternatywą podzielności n przez 7 i MTF.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2015, o 22:25 
Użytkownik

Posty: 274
Lokalizacja: Opole
n ^{3} \left( n-1\right)\left( n+1\right)\left[( n-2\right) \left( n+3\right) +7][  \left( n+2\right)\left( n-3\right) +7]

Do MORTAN: po wymnożeniu przez wyrażenie w kwadratowym nawiasie mamy podzielność przez 7 i 6 czyli 42.
Do PREMISLAV: akurat ze "żmudną" SIÓDEMKĄ i trywialną SZÓSTKĄ jakoś sobie poradziłem, ale co z resztą?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2015, o 22:50 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
Przecież pokazał Ci rozwiązanie z "resztą"
Jeśli chcesz się upewnić rozwiązania, etc. to zapraszam :
Ukryta treść:    

Jeśli jeszcze możesz, to powiedz skąd zadanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2015, o 23:06 
Użytkownik

Posty: 274
Lokalizacja: Opole
Skąd? Jak większość dobrych zadań: Massachuchets Institute of Technology
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 31.  Clroavzey  9
 Udowodnij, że .... jest podzielna przez...  mikrobart  4
 Podzielność przez 11 - zadanie 14  push  6
 podzielność przez 6 - zadanie 4  Agatka  10
 Wykazywanie - podzielność przez 7  Nividis  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl