szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2015, o 16:07 
Użytkownik

Posty: 462
Lokalizacja: Warszawa
Cześć :)
Udowodnij, że dla każdego n > 1 nieprawdą jest, że 2^n \equiv 1 \mod n
Jak to udowodnić metodami analitycznymi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2015, o 16:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18427
Lokalizacja: Cieszyn
Skorzystaj ze wzoru x^n-y^n=\dots.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2015, o 02:19 
Użytkownik

Posty: 462
Lokalizacja: Warszawa
Skorzystałem ale nie wiem co dalej:
2^n - 1^n = kn \\ 2^{n-1} + 2^{n-2} + ... + 1 = kn
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2015, o 03:25 
Moderator

Posty: 1976
Lokalizacja: Trzebiatów
Zadanie sprowadza się do wykazania iż nie istnieje taka liczba naturalna n>1, że n | 2^{n} -1, co jest dość znanym faktem
Załóżmy przeciwnie, niech n będzie najmniejszą liczba naturalną taką, że n | 2^{n} - 1, a k najmniejszą liczbą naturalną taką, że n | 2^{k} - 1. Wtedy n > k, jest to przypadek szczególny z pewnego twierdzenia, które dość prosto się dowodzi rozpatrując reszty z dzielenia liczb 2^{0},...,2^{n} przez n. Mianowicie twierdzenie mówi - dla każdej liczby nieparzystej n > 1 istnieje taka liczba naturalna m < n, że liczba 2^{m} - 1 jest podzielna przez n.
Niech n = km + r, 0   \le  r < k. Mamy, że n | 2^{n} - 2^{km}= 2^{km}(2^{r}-1), stąd n | 2^{r} - 1, bo n jest liczbą nieparzystą. Wynika stąd, że r = 0, bo r < k. Dalej mamy, że k | n, co ciągnie za sobą podzielność k | 2^{k} - 1 i dalej wynika stąd na mocy warunku n > k i określenia liczby n równość k = 1, czyli n | 2^{1} - 1 = 1, co jest sprzeczne i dowodzi tezy.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pokazać równość  patryk007  0
 Wykaż równość z symbolami Newtona.  mateuszt24  1
 Wykazać, że spełniona jest równość - dwumian newtona  ghagha  0
 Równość mocy zbiorów skończonych  AngieOO  9
 Pokaż równość - silnia dolna  krymeer  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl