szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Podzielność
PostNapisane: 5 cze 2007, o 15:06 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Wrocław
Nie wiem za bardzo, gdzie dać to zadanie, więc daję tu.

Mam problem z pewnym zadaniem, bardzo mi potrzebne rozwiązanie na jutro ;]

n \in \mathbb{N}. n^3 ma 8 razy więcej dzielników niż n. Ile dzielników ma n^2?

Z góry dzięki za pomoc. Pozdro

Temat przeniosłem i poprawiłem zapis.
luka52
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Podzielność
PostNapisane: 5 cze 2007, o 19:54 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 7136
Lokalizacja: Ruda Śląska
Wskazówka: jeżeli liczba n jest iloczynem k różnych liczb pierwszych, to liczba n^m ma (m+1)^k dzielników
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Podzielność
PostNapisane: 5 cze 2007, o 20:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1094
Lokalizacja: Olesno
niech \sigma (k) oznacza sume dzielnikow liczby k, wtedy gdy;
k = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} ... p_n^{a_n} \\
p_i - liczba pierwsza i a_i \geq 0  \\
wtedy zachodzi
\sigma (k) = (1+a_1)(1+a_2)....(1+a_n) \\
z tresci wynika;
8(a_1+1)(a_2+1)..(a_n+1) = (3a_1+1)(3a_2+1)...(3a_n+1) \\
zalozmy ze liczba k jest iloczynem conajmniej 3 liczb pierwszych, wtedy oczywiscie, istnieje takie a_j,a_k,a_l \geq 1 ,ze
\frac{3a_i+1}{a_i+1} \geq 2, \ \ i=j,k,l zatem \\ 
(a_1+1)(a_2+1)...(a_{n-3}+1) \geq (3a_1+1)(3a_2+1)...(a_{n-3}+1) \\
ale a_i \geq 0, \ zatem zeby nierownosc zachodzila to
a_i=0, \ \ i=1,2,..n-3 czyli nierownosc staje sie rownoscia, wiec
\frac{3a_i+1}{a_1+1} = 2 \iff a_i=1, \ \ i=j,k,l \\ 
k = p_1^1p_2^1p_3^1 \\ 
\sigma (k^2) = (2+1)(2+1)(2+1) = 27 \\
nalezy jeszcze sprawdzic przypadek, gdy k jest iloczynem dwoch lub jednej liczby pierwszej, co pozostawiam tobie :arrow:
:wink: :razz:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność - zadanie 13  DemoniX  5
 Podzielność - zadanie 7  kuma  4
 podzielność  pandafix  3
 Podzielność - zadanie 4  5artos  2
 podzielność - zadanie 11  kazafin  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl