szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2015, o 18:29 
Użytkownik

Posty: 78
Cześć,
Czy moglibyście sprawdzić, czy poprawnie rozwiązałem to zadanie?

Ile rozwiązań ma równanie x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7} = 123, gdy x_{i} \le 40?

Niech A oznacza zbiór wszystkich rozwiązań dla x_{1, 2, ..., 7} \in \mathbb{N}.
Niech A_{i} oznacza zbiór wszystkich rozwiązań dla x_{i} \in \left\{ 41, 42, ...\right\}.
Niech A_{i} \cup A_{j} oznacza zbiór wszystkich rozwiązań dla x_{i}, x_{j} \in \left\{ 41, 42, ...\right\}.
Niech A_{i} \cup A_{j} \cup A_{k} oznacza zbiór wszystkich rozwiązań dla x_{i}, x_{j}, x_{k} \in \left\{ 41, 42, ...\right\}.

Wtedy moc zbioru A wynosi {123 + 7 - 1 \choose 123} = {129 \choose 123}, bo mamy 123 jednakowe jedynki do rozrzucenia w 7 rozróżnialnych kubełków.
Moc zbioru A_{i} wynosi {123 - 41 + 7 - 1 \choose 123 - 41} = {88 \choose 82}, bo już 41 jedynek zostało wykorzystanych i rozrzucamy tylko te pozostałe.
Podobnie moc zbioru A_{i} \cup A_{j} wynosi {123 - 41 - 41 + 7 - 1 \choose 123 - 41 - 41} = {47 \choose 41}, a moc zbioru A_{i} \cup A_{j} \cup A_{k} wynosi {123 - 41 - 41 -41 + 7 - 1 \choose 123 - 41 - 41 - 41} = {6 \choose 0} = 1.

Korzystając z zasady włączeń i wyłączeń obliczam ilość rozwiązań równania z treści zadania:
|A| - {6 \choose 1} |A_{i}| + {6 \choose 2} |A_{i} \cup A_{j}| - {6 \choose 3} |A_{i} \cup A_{j} \cup A_{k}| =
{129 \choose 123} - 6 {88 \choose 82} + {6 \choose 2} {47 \choose 41} - {6 \choose 3} {6 \choose 0} =
{129 \choose 123} - 6 {88 \choose 82} + {6 \choose 2} {47 \choose 41} - {6 \choose 3} 1
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2015, o 20:59 
Użytkownik

Posty: 1471
Lokalizacja: Trójmiasto
zadania tego typu rozwiązuje się funkcją generującą, odpowiedź do Twojego problemu to:
\left(z^0 + z^1 + z^2 + \ldots + z^{40}\right)^7 \quad \left[z^{123}\right]
czyli współczynnik przy z^{123} w rozwinięciu tej funkcji

korzystając ze zdobyczy współczesnej technologii można policzyć ile to jest, wpisałem do wolframa
\left(\sum_{i=0}^{40} z^i \right) ^7
i w "expanded form" doszukałem się z^{123}, wynik to 2 120 147 946
natomiast Twój wynik to 2 597 653 759
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 nierownosc z 5 zmiennymi - ile rozwiazan w l. naturalnych?  Anonymous  25
 permutacje/ile jest sposobow ustawien/ -prosba o sprawdzenie  alamakota  3
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 [zadanie] Rozwiąż równanie  My4tic  1
 równanie - zadanie 4  fishman4  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl