szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 sty 2015, o 14:54 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Toruń
Witam .
Proszę o wskazówki i pomoc w zrozumieniu zadania .
Oznaczenia potrzebne do zadań :
p(n,k)-liczba wszystkich przedstawień liczby n w postaci sumy k składników . Gdzie przedstawienie typu 5=4+1jest identyczne co przedstawienie 5=1+4. składniki są >0.
Są dwa zadania . Pierwsze rozwiązałam ale będzie potrzebne w kolejnym więc napiszę.

Zad1.Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość:
p(n,2)=  \left[  \frac{n}{2} \right]
Rozwiązanie : jeśli n jest parzyste to istnieje dokładnie \frac{n}{2} przedstawień liczby n w postaci sumy dwóch liczb naturalnych ,a jeśli n jest nieparzyste to takich przedstawień jest dokładnie \frac{n-1}{2} przy założeniu ze przedstawienia które napisałam przed zadaniem uznajemy za identyczne.

Zad2.( z którym mam problem)
Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość:
p(n,3)= \left[\frac{n ^{2}+6 }{12} \right]
napisze co wiem na ten temat, może komuś uda sie to dokończyć:
wiemy , że p(n,2)= \left[\frac{n}{2} \right] .
Można zauważyć , żep(n,3)=p(n-1,2)+p(n-2,2)-1+p(n-3,2)-2+...+p(n-\left[  \frac{n}{3} \right] ,2) -(\left[  \frac{n}{3} \right]  -1 )
ponieważ dzieląc wszystkie rozkłady postaci :
n=m+l+k gdzie k \le  l \le  m
na klasy według składnika k , otrzymujemy w katej klasie p(n-k,2)-(k-1)rozkładów.

stąd
p(n,3) = \left[  \frac{n-1}{2} \right] +\left[  \frac{n-2}{2} \right] +...+\left[  \frac{n-\left[  \frac{n}{3} \right] }{2} \right] -  \frac{1}{2}\left[  \frac{n}{3} \right]\left( \left[  \frac{n}{3} \right] -1 \right)
Czytając dowód sierpińskiego jest napisane :
Badając teraz kolejno 6 przypadków n=6k,6k+1,....6k+5 sprawdzamy w każdym z nich wzór p(n,3)= \left[\frac{n ^{2}+6 }{12} \right] .

Więc pytam . Czemu 6 przypadków a nie wystarczy 3 ? i jak to ładnie jasno skończyć ? pomóżcie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2015, o 15:10 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Spróbuj zrobić trzy przypadki i sam się przekonasz czemu nie wystarczy - mianownikach jest też dwójka, więc parzystość też nas interesuje.
Podstawiaj kolejno za n odpowiednie warianty i policz wartości obu stron.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 sty 2015, o 21:18 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Toruń
A możesz pokazać jak wyliczyć np dla 6k+1?

-- 13 sty 2015, o 23:22 --

dla n= 6k+1 wyszło mi tak :

p(6k+1,3) = \left[ \frac{6k+1-1}{2} \right] +\left[ \frac{6k+1-2}{2} \right] +...+\left[ \frac{6k+1-\left[ \frac{6k+1}{3} \right] }{2} \right] - \frac{1}{2}\left[ \frac{6k+1}{3} \right]\left( \left[ \frac{6k+1}{3} \right] -1 \right) = \left[ \frac{6k}{2} \right] +\left[ \frac{6k-1}{2} \right] +...+\left[ \frac{6k+1-2k }{2} \right] - \frac{1}{2} \cdot 2k\left( 2k -1 )=
= 3k +(3k-1)+ (3k-1) + (3k-2) +...+(3k-k)- k \cdot ( 2k -1 )
I teraz policzylam to jako podwójną sumę ( bo wyrazy się powtarzają ) od 3k do 3k-k i wyrazów jest (k+1)
otrzymałam 2 \cdot \frac{3k+3k-k}{2} \cdot (k+1) - 2k ^{2} +k = 2 \cdot \frac{5k(k+1)}{2}- 2k ^{2} +k= 5k ^{2}+5k-2k ^{2} +k = 3k^{2}+6k

A z drugiej strony :

p(6k+1,3)= \left[\frac{(6k+1) ^{2}+6 }{12} \right] = \left[\frac{36k ^{2}+12k+7 }{12}\right] =  3k ^{2}+k

czemu te strony nie wyszly mi rowne ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2015, o 16:21 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Wybacz na wstępie dwie rzeczy - męską formę zamiast żeńskiej wcześniej, oraz brak polskich znaków, poprawię jak będę na znośniejszym sprzęcie.
Źle policzyłaś tą sumę. Składniki od 2k+1 do 3k-1 pojawiają się dwa razy, zaś 2k i 3k tylko raz.
edit polskie znaki już dodałem
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ile sposobow - wybor trzech liczb, aby suma byla parzysta  Anonymous  2
 ile jest liczb 2cyfr/3cyfr, 5cyfr o pocz 12, bez cyfr 4 i 5?  Anonymous  1
 Układanie liczb o różnych cyfrach podzielnych przez...  birdy1986  4
 Na ile sposobów... (suma 3 liczb rowna 11)  Anonymous  3
 losowanie cyfr - ile liczb mozna utworzyc?  Banan  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl